Forum serwisu

ad a) Metoda przeciwnych współczynników ;pierwsze równanie mnożę obustronnie przez 4 , drugie przez -k \begin{cases} 4kx+36y=0\\-4kx-k^2y=0\end{cases} po dodaniu stronami otrzymuję 36y-k^2y=0 y(36-k^2)=0 I teraz zachodzą dwa przypadki 1^o 36-k^2=0 \iff k=-6 \vee k=6 układ nieoznaczony 2^o 36-k^2 \ne...

zad.6
a) jest rosnąca w całej dziedzinie , gdy \(1-2a>0\) , czyli \(a< \frac{1}{2}\)
b) jest stała , gdy \(1-2a=0\) , czyli \(a= \frac{1}{2}\) i wtedy f(x) = 4

wyrażenie to jest równe ( z tw. logx+logy=log(x \cdot y) ) log(2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n+1}{n}) =log( n+1) Należało tylko zauważyć ,że licznik i mianownik dwóch sąsiednich ułamków się upraszczają . Założenie n>0 jest zawsze spełnione dla każdej li...

ad a)
\(x^4+3x^2+2= 0\)
ad b )
\(x^4+x^2-2= 0\)
ad c)
\(x^4-x^2=0\)

Najpierw obliczam wyrażenie pod wewnętrznym pierwiastkiem t=log^4_ba+ log_a^4b + 2 = ( \frac{log_aa}{log_ab})^4+log_a^4b+2= ( \frac{1}{ log_a^2b } + log_a^2b)^2 Czyli \sqrt{t}= \frac{1}{log_a^2b} + log_a^2b \sqrt{ \sqrt{t}+2}-log_ba-log_ab = \sqrt{ \frac{1}{log_a^2b}+ log_a^2b + 2}- log_ab-log_ba = ...

Obliczam a^3 . W tym celu stosuję wzór na sześcian sumy a^3= 9+ \sqrt{80 }+3 \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})^2(9- \sqrt{80}) }+3 \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80} )(9- \sqrt{80})^2 }+9- \sqrt{80} Teraz obliczam następujące wyrażenia , stosując wzór na różnicę kwadratów \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})^2 \cdot (9- \sqrt{80} }= ...

f(x)= \frac{1}{4}x^2+(k+1)x+l+2 \Delta >0 \iff \Delta =(k+1)^2-(l+2)>0 \iff l<k^2+2k+3 czyli wszystkie punkty płaszczyzny KOL leżące pod parabolą o równaniu l=k^2+2k+3 (bez punktów tej paraboli ) Rozpatrzmy warunek x_1<2<x_2 Wykresem naszej funkcji f(x) jest parabola o ramionach skierowanych do gór...

spróbuj postawić \(t= \sqrt[3]{M}\) i otrzymasz równanie stopnia trzeciego .
Ale najpierw sprawdź jeszcze raz rachunki .

z wzoru \(tg2 \alpha = \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha }\)

podobnie w drugim przykładzie .
Po ustaleniu dziedziny wyliczasz x za pomocą y , wykorzystując po drodze definicję logarytmu

w ostatniej linijce błąd

zatem \(f^{-1}(y)=log_3(y+2)-1\)

\(y=3^{x+1}-2\)
jest to funkcja różnowartościowa (odwracalna) w dziedzinie \(D_f= \rr\) , więc istnieje funkcja odwrotna
Ze wzoru wyliczmy x za pomocą y .
\(3^{x+1}=y+2\)
\(x+1=log_3 (y+2)\)
\(x=log_3(y+2)-1\)
zatem \(f^{-1}(y)=log_3(y+2)\)

rozpiszę (2n+1)! = (2n+1)2n(2n-1)!
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{(2n-1)!(n^2+1)}{(2n-1)!((2n+1)2n+ \frac{1}{(2n-1)1} )}\) =
= \(\Lim_{n\to \infty } \frac{n^2(1+ \frac{1}{n^2} }{4n^2(1+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{4n^2(2n-1)!} ) }\) =
=\(\frac{1}{4}\)

II pochodna obliczona dobrze
\(f''(x)>0 \iff -2lnx+4>0 \iff lnx<2 \iff x \in \left( 0,e^2\right)\) tu wypukła
\(f''(x)<0 \iff x \in \left(e^2,+ \infty \right)\) tu wklęsla

Czy na pewno jest dobrze przepisana treść ? wersja I pierwszy składnik (4-2)^2 = 2^2=4 coś za prosty . wersja II Może miało tam być (4-2 \sqrt{3})^2=16-16 \sqrt{3} +4 \cdot 3=28-16 \sqrt{3} Zajmę się drugim składnikiem (5-3 \sqrt{3})(4+ \sqrt{3} )=20+5 \sqrt{3}-12 \sqrt{3}-3 \cdot 3=11-7 \sqrt{3} Wy...