Równanie funkcji odwrotnej

Jazzmatazz · Post autor: **Jazzmatazz** » 18 gru 2014, 13:24

Witam
Mam problem ze znalezieniem funkcji odwrotnej, nie umiem odpowiednio przekształcić funkcji proszę o pomoc.

1)
y=3^x+1 - 2
2)
y=lg4(x-1) + 2

jola · Post autor: **jola** » 18 gru 2014, 13:32

\(y=3^{x+1}-2\)
jest to funkcja różnowartościowa (odwracalna) w dziedzinie \(D_f= \rr\) , więc istnieje funkcja odwrotna
Ze wzoru wyliczmy x za pomocą y .
\(3^{x+1}=y+2\)
\(x+1=log_3 (y+2)\)
\(x=log_3(y+2)-1\)
zatem \(f^{-1}(y)=log_3(y+2)\)

jola · Post autor: **jola** » 18 gru 2014, 13:34

w ostatniej linijce błąd

zatem \(f^{-1}(y)=log_3(y+2)-1\)

jola · Post autor: **jola** » 18 gru 2014, 13:36

podobnie w drugim przykładzie .
Po ustaleniu dziedziny wyliczasz x za pomocą y , wykorzystując po drodze definicję logarytmu

Jazzmatazz · Post autor: **Jazzmatazz** » 18 gru 2014, 13:51

Dzięki wielkie

Galen · Post autor: **Galen** » 18 gru 2014, 15:40

2)
\(f(x)=log_4(x-1)+2\;\;\;\;\;\;\;\;tu\;\;\;x>1\)
Z równania \(log_4(x-1)+2=y\) wyliczasz x.
\(log_4(x-1)=y-2\\x-1=4^{y-2}\\x=4^{y-2}+1\)
Zamieniasz nazwy zmiennych
\(y=4^{x-2}+1\)
I masz wzór funkcji odwrotnej
\(f^{-1}(x)=4^{x-2}+1\)