przykłady ze wzorami skróconego mnożenia

[scizor13]

Oblicz:
\(a= \sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} }\)

Czy to można obliczyć tak, że się wszystko podniesie obustronnie do sześcianu i wtedy by wyszło \(\sqrt[3]{18}\) ?

[jola]

Obliczam \(a^3\) . W tym celu stosuję wzór na sześcian sumy
\(a^3= 9+ \sqrt{80 }+3 \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})^2(9- \sqrt{80}) }+3 \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80} )(9- \sqrt{80})^2 }+9- \sqrt{80}\)
Teraz obliczam następujące wyrażenia , stosując wzór na różnicę kwadratów
\(\sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})^2 \cdot (9- \sqrt{80} }= \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})(9+ \sqrt{80})(9- \sqrt{80} ) }= \sqrt[3]{(9+ \sqrt{80})(81-80) }= \sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }\)
Podobnie postępuję z drugim wyrażeniem pod pierwiastkiem 3. stopnia
\(\sqrt[3]{(9+ \sqrt{80} )(9- \sqrt{80})^2 }= \sqrt[3]{(81-80)(9- \sqrt{80}) }= \sqrt[3]{9- \sqrt{80} }\)

Zatem
\(a^3=18+3( \sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} }) = 18+3a\)
Należy teraz rozwiązać równanie
\(a^3=3a+18\)
\(a^3-3a-18=0\)
\((a-3)(a^2+3a+6)=0\)
\(a=3\) lub \(a^2+3a+6=0\)
Drugie równanie jest sprzeczne , bo jego wyróżnik \(\Delta =9-24<0\)
Zatem a = 3

[sebnorth]

\(a^3 = 9 + \sqrt{80} + 9 - \sqrt{80} + 3 \cdot \sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 + \sqrt{80})} \cdot a\)

\(a^3 - 3a - 18 = 0\)

\(3^3 - 3\cdot 3 - 18 = 0\)

\(a^3 - 3a - 18 = (a-3)(a^2 + 3a + 6) = 0\)

odp. \(a = 3\)