Druga pochodna - prośba o sprawdzenie

[Gokus]

Rozwiązuje przykład z badania przebiegu zmienności funkcji i mam wątpliwość czy dobrze to policzyłem.
Poproszę o sprawdzenie.

\(f(x) = ( \ln x )^2 - 2\ln x\)

\(f'(x) = \frac{2lnx - 2}{x}\)

\(f''(x) = \frac{-2lnx + 4}{x^2}\)

Po przyrównaniu drugiej pochodnej do 0:
\(x = e^2\)

\(f(x)\) jest wklęsła \((" \cup ")\)dla x \(\in (0, e^2)\)
\(f(x)\)jest wypukła \((" \cap ")\)dla x \(\in (e^2, \infty )\)

Na wykresie w punkcie \(e^2\) (miejsce przecięcia z osią OX) nie widzę za bardzo punktu przegięcia, ale może po prostu jest mało widoczny?

[jola]

II pochodna obliczona dobrze
\(f''(x)>0 \iff -2lnx+4>0 \iff lnx<2 \iff x \in \left( 0,e^2\right)\) tu wypukła
\(f''(x)<0 \iff x \in \left(e^2,+ \infty \right)\) tu wklęsla