udowodnić

[suspicious20]

udowodnić że funkcja
\(tg: (- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} ) \to R\) jest silnie rosnąca

[suspicious20]

niech\(x_1,x_2 \in D\) i \(x_1-x_2<0\)
Badam: \(f(x_1)-f(x_2) = tgx_1 - tgx_2\)
no i teraz co ???

[suspicious20]

odświeżam troszkę

[Galen]

Analizujesz znak różnicy tangensów.
\(x_2>x_1\;\;\;czyli\;\;\;x_2\;-\;x_1\;>\;0\\
Znak\\
f(x_2)-f(x_1)=tg(x_2)-tg(x_1)=\frac{sin x_2}{cos x_2} - \frac{sin_x_1}{cos x_1}=\frac{sinx_2 cosx_1-sinx_1 cosx_2}{cosx_2 cosx_1}\)
Mianownik jako iloczyn cosinusów na przedziale \((-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2})\) jest dodatni.
W liczniku jest sinus różnicy argumentów.
\(sin(x_2-x_1)\)
Różnica \(x_2-x_1\) przyjmuje wartości z przedziału \((0;\pi)\) , a dla takich argumentów sinus
jest dodatni.
To dowodzi,że otrzymana różnica tangensów jest dodatnia.
\(tgx_2 - tgx_1>0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;tgx_2>tgx_1\)