udowodnić że funkcja
\(tg: (- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} ) \to R\) jest silnie rosnąca
udowodnić
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Analizujesz znak różnicy tangensów.
\(x_2>x_1\;\;\;czyli\;\;\;x_2\;-\;x_1\;>\;0\\
Znak\\
f(x_2)-f(x_1)=tg(x_2)-tg(x_1)=\frac{sin x_2}{cos x_2} - \frac{sin_x_1}{cos x_1}=\frac{sinx_2 cosx_1-sinx_1 cosx_2}{cosx_2 cosx_1}\)
Mianownik jako iloczyn cosinusów na przedziale \((-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2})\) jest dodatni.
W liczniku jest sinus różnicy argumentów.
\(sin(x_2-x_1)\)
Różnica \(x_2-x_1\) przyjmuje wartości z przedziału \((0;\pi)\) , a dla takich argumentów sinus
jest dodatni.
To dowodzi,że otrzymana różnica tangensów jest dodatnia.
\(tgx_2 - tgx_1>0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;tgx_2>tgx_1\)
\(x_2>x_1\;\;\;czyli\;\;\;x_2\;-\;x_1\;>\;0\\
Znak\\
f(x_2)-f(x_1)=tg(x_2)-tg(x_1)=\frac{sin x_2}{cos x_2} - \frac{sin_x_1}{cos x_1}=\frac{sinx_2 cosx_1-sinx_1 cosx_2}{cosx_2 cosx_1}\)
Mianownik jako iloczyn cosinusów na przedziale \((-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2})\) jest dodatni.
W liczniku jest sinus różnicy argumentów.
\(sin(x_2-x_1)\)
Różnica \(x_2-x_1\) przyjmuje wartości z przedziału \((0;\pi)\) , a dla takich argumentów sinus
jest dodatni.
To dowodzi,że otrzymana różnica tangensów jest dodatnia.
\(tgx_2 - tgx_1>0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;tgx_2>tgx_1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.