rozne

[jacardo]

1)rozwiaz nierownosc:

\(\frac{1}{\frac{1}{x-1} + \frac{3}{x-2}} \ge (x-1)(x-2)\)

2)dany jest wielomian w(x) = \(2x^3 -5x^2 -2^a \cdot x + 3\)

znajdz sume wspolczynnikow wielomianu q(x)=\([W(x)]^{2011}\;\) gdy a = 0

3)dane jest rownanie \(2^x + x^2 -3 =0\), uzasadnij ze ma dwa rozwiazania wieksze od \(-\sqrt{3}\)

4)fynkcja f jest okreslona wzorem

\(f(x)= \begin{cases}
\frac{2x^2 + mx - 6}{x+2} \; dla \; x \neq -2 \\
a \; dla\; x = -2
\end{cases}\)

wyznacz wartosci parametrow a i m dla ktorych wykresem jest linia prosta.

5) okres znaki liczb:
a)\(\log_{1,7} (0,5(1-\log_7 3))\)
b)\(\frac{\log_3 5 - \log_5 3}{\log_{0,3} 4 - \log_{0,3} 3}\)
odpowiedz uzasadnij

[Twardy]

\(\frac{1}{\frac{1}{x-1} + \frac{3}{x-2}} \ge (x-1)(x-2) x \neq 1 \wedge x \neq 2
\frac{1}{ \frac{x-2+3x-3}{(x-1)(x-2)} } \ge (x-1)(x-2)
\frac{(x-1)(x-2)}{4x-5} \ge (x-1)(x-2) x \neq \frac{5}{4}
\frac{(x-1)(x-2)-(4x-5)(x-1)(x-2)}{4x-5} \ge 0
[(x-1)(x-2)(1-4x+5)](4x-5) \ge 0
(x-1)(x-2)(-4x+6)(4x-5) \ge 0
x \in (1; \frac{5}{4}) \cup < \frac{3}{2};2)\)

[jacardo]

moze ktos zrobic pozostale?

[irena]

2.

\(a=0\\2^0=1\\W(x)=2x^3-5x^2-x+3\\Q(x=(2x^3-5x^2-x+3)^{2011}\)

Suma współczynników wielomianu Q(x) jest równa Q(1).

\(Q(1)=(2\cdot1^3-5\cdot1^2-1+3)^{2011}=(2-5-1+3)^{2011}=(-1)^{2011}=-1\)

[irena]

3.
\(2^x+x^2-3=0\\2^x=-x^2+3\)

\(f(x)=2^x\\g(x)=-x^2+3\)

Wartości funkcji f(x) są dodatnie dla każdej rzeczywistej liczby x.
Wartości funkcji g(x) (wykres to parabola o wierzchołku w punkcie (0, 3)) : \(ZW_g=(-\infty;\ 3>\).
Funkcja g(x) ma 2 miejsca zerowe:
\(-x^2+3=0\\x^2=3\\x_1=-\sqrt{3}\ \vee\ x_2=\sqrt{3}\)

Dla \(x\in<-\sqrt{3};\ 0>\) mamy:
\(f(-\sqrt{3})>0\\g(-\sqrt{3})=0\\f(-\sqrt{3})>g(-\sqrt{3}\\f(0)=1\\g(0)=3\\f(0)<g(0)\)

Obie funkcje są ciągłe i różnowartościowe w tym przedziale, więc w przedziale \(x\in(-\sqrt{3};\ 0)\) wykresy obu funkcji przecinają się, czyli istnieje taki \(x\in(-\sqrt{3};\ 0)\), że \(f(x)=g(x)\).
W przedziale tym równanie ma więc jdno rozwiązanie.

Analogicznie dla \(x\in<0;\ \sqrt{3}>\) mamy:
\(f(0)=1\\g(0)=3\\f(0)<g(0)\\f(\sqrt{3}>0\\g(\sqrt{3})=0\\f(\sqrt{3})>g(\sqrt{3})\)

Obie funkcje są ciągłe i różnowartościowe w tym przedziale, więc istnieje taki \(x\in(0;\ \sqrt{3})\), że \(f(x)=g(x)\), czyli w tym przedziale równanie ma jedno rozwiązanie.

Zatem w przedziale \(x\in(-\sqrt{3};\ \sqrt{3})\) równanie ma 2 różne rozwiązania. Oba są większ niż \(\sqrt{3}\)

[irena]

4.
Żeby pierwsza część wykresu była zawarta w prostej, wielomian w liczniku musi dzielić się przez dwumian w mianowniku. Wartość tego wielomianu dla x=-2 musi być więc równa zero.
\(2\cdot(-2)^2+m\cdot(-2)-6=0\\8-2m-6=0\\-2m=-2\\m=1\)

\(x\neq-2\\\frac{2x^2+x-6}{x+2}=\frac{(x+2)(2x-3)}{x+2}=2x-3\)

Żeby wykres był ciągły, wartość dla x=-2 musi być taka sama:
\(a=2\cdot(-2)-3=-7\)

\(m=1\\a=-7\)

[unknown1]

5) określ znaki liczb:
\(a)log_{1,7}(0,5(1−log_73))\)
\(log_71=0\)
\(log_77=1\)
\(log_73 \in (0, 1)\)
\(1-log_73 \in (0, 1)\)
\(\frac{1}{2}(1- log_73) \in (0, \frac{1}{2} )\)
\(\frac{1}{2} (1−log_73)) < 1,7\)
\(log_{1,7}(0,5(1−log_73)) < 0\)

[eresh]

5) określ znaki liczb:
\(a)log_{1,7}(0,5(1−log_73))\)
\(log_71=0\)
\(log_77=1\)
\(log_73 \in (0, 1)\)
\(1-log_73 \in (0, 1)\)
\(\frac{1}{2}(1- log_73) \in (0, \frac{1}{2} )\)
\(\frac{1}{2} (1−log_73)) < 1,7\)
\(log_{1,7}(0,5(1−log_73)) < 0\)

nie dopisuj zadań, utwórz własny temat

[unknown1]

Zad. 5
b)
\(\frac{log_35-log_53}{log_{0.3}4-log_{0.3}3}=\frac{log_33}{log_{0.3} \frac{4}{3} }= \frac{1}{log_{0.3}}\)
\(log_{0.3} \frac{3}{10} =1\)
\(log_{0.3}1=0\)
\(log_{0.3} \frac{10}{3} =-1\)
\(\frac{4}{3} > 1\)
\(log_{0.3} \frac{4}{3} < 0\)
\(\frac{1}{log_{0.3}} < 0\)

[unknown1]

Nie dopisałem zadania. Zadanie 5 było nierozwiązane. Przepisałem tylko treść (może i niepotrzebnie).

[eresh]

Nie dopisałem zadania. Zadanie 5 było nierozwiązane. Przepisałem tylko treść (może i niepotrzebnie).

nie zauważyłam, przepraszam