Równania różniczkowe zwyczajne I-go rzędu

[mirapa1]

Witam serdecznie.
Mam do rozwiązania jedno zadanie z równań różniczkowych I-go rzędu. Chodzi o jednorodność i uzmiennienie stałej.

\(y' + \frac{y}{x}=2\)

Z góry dziękuję za rozwiązanie.

Pozdrawiam

[korki_fizyka]

https://matematyka.pl/rownania-rozniczk ... 61648.html
https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/main83.html
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... _zwyczajne
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... 2%2F%2F%5D

[janusz55]

\( y' + \frac{y}{x}=2 \ \ (1) \)

Jest to równanie różniczkowe - zwyczajne niejednorodne jednokładności - postaci \( y' = g\left(\frac{y}{x}\right).\)

Rozpatrujemy je w zbiorze \( D = \{(x,y): x\neq 0 \}.\)

Sprowadzamy do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, wprowadzając pomocniczą funkcję niewiadomą:

\( u = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x},\) gdzie \( y = \phi(x). \)

Mamy więc \( \phi(x) = x \cdot \psi(x), \) oraz \( \phi'(x) = \psi(x) + x\cdot \psi'(x).\)

Wstawiając do równania \( (1) \) otrzymujemy

\( \psi(x) + x \cdot \psi'(x) + \psi(x) = 2\)

\( \psi(x) = \frac{2 - 2\psi(x)}{x} \)

Równanie \( (1) \) sprowadziliśmy do równania

\( u' = \frac{2 - 2u}{x} \ \ (2), \)

które rozpatrujemy w zbiorze \( P = \{ (x,y): x\neq 0, \ \ -\infty < w < \infty \} \)

\( (2) \) jst równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Rozdzielając zmienne otrzymujemy:

\( \frac{u'}{2(1-u)} = \frac{1}{x} \)

Całkując obustronnie

\( \int \frac{u}{2(1-u)} du = \int \frac{1}{x} dx,\)

\( -\frac{1}{2} \ln(1-u) = \ln(x) + \ln(A) \)

\( \ln(1-u) = -2\ln(Ax) = \ln[(Ax)^{-2}],\)

\( 1 - u = (Ax)^{-2} = B \cdot x^{-2} , \ \ B = A^{-2}.\)

\( u = 1 - B\cdot x^{-2}.\)

Uzmienniamy stałą \( B \)

\( u (x) = 1 - B(x)\cdot x^{-2} \)

Obliczamy \( u' \) i podstawiamy do równania \( (2)\)

\( -B'(x) \cdot x^{-2} +2 B(x)\cdot x^{-3} = \frac{2}{x}- \frac{2}{x} +2B(x)\cdot x^{-3} \)

Stąd

\( -B'\cdot x^{-3} = 0, \)

\( B(x) = C.\)

R.O.R.N.:

\( y = x(1 - Cx^{-2}) = x - \frac{C}{x}. \)

[eresh]

Witam serdecznie.
Mam do rozwiązania jedno zadanie z równań różniczkowych I-go rzędu. Chodzi o jednorodność i uzmiennienie stałej.

\(y' + \frac{y}{x}=2\)

Z góry dziękuję za rozwiązanie.

Pozdrawiam

1.
\(\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0\\
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\\
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\
\int\frac{dy}{y}=-\int\frac{dx}{x}\\
\ln y=-\ln x+C_1\\
y=\frac{1}{x}C\\
y=\frac{C}{x}\)

uzmienniamy stałą
\(y'=\frac{C'x-C}{x^2}\\
y'=\frac{C'}{x}-\frac{C}{x^2}\\\)

\(\frac{C'}{x}-\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=2\\
C'=2x\\
C=x^2\)

rozwiązanie:
\(y=\frac{x^2}{x}+\frac{C}{x}\\
y=\frac{C}{x}+x\)

[janusz55]

Proszę Pani
rozwiązanie ogólne równania różniczkowego może mieć nieskończenie wiele postaci.