Witam serdecznie.
Mam do rozwiązania jedno zadanie z równań różniczkowych I-go rzędu. Chodzi o jednorodność i uzmiennienie stałej.
\(y' + \frac{y}{x}=2\)
Z góry dziękuję za rozwiązanie.
Pozdrawiam
Równania różniczkowe zwyczajne I-go rzędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Równania różniczkowe zwyczajne I-go rzędu
https://matematyka.pl/rownania-rozniczk ... 61648.html
https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/main83.html
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... _zwyczajne
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... 2%2F%2F%5D
https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/main83.html
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wn ... _zwyczajne
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... 2%2F%2F%5D
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Fachowiec
- Posty: 1649
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Równania różniczkowe zwyczajne I-go rzędu
\( y' + \frac{y}{x}=2 \ \ (1) \)
Jest to równanie różniczkowe - zwyczajne niejednorodne jednokładności - postaci \( y' = g\left(\frac{y}{x}\right).\)
Rozpatrujemy je w zbiorze \( D = \{(x,y): x\neq 0 \}.\)
Sprowadzamy do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, wprowadzając pomocniczą funkcję niewiadomą:
\( u = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x},\) gdzie \( y = \phi(x). \)
Mamy więc \( \phi(x) = x \cdot \psi(x), \) oraz \( \phi'(x) = \psi(x) + x\cdot \psi'(x).\)
Wstawiając do równania \( (1) \) otrzymujemy
\( \psi(x) + x \cdot \psi'(x) + \psi(x) = 2\)
\( \psi(x) = \frac{2 - 2\psi(x)}{x} \)
Równanie \( (1) \) sprowadziliśmy do równania
\( u' = \frac{2 - 2u}{x} \ \ (2), \)
które rozpatrujemy w zbiorze \( P = \{ (x,y): x\neq 0, \ \ -\infty < w < \infty \} \)
\( (2) \) jst równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Rozdzielając zmienne otrzymujemy:
\( \frac{u'}{2(1-u)} = \frac{1}{x} \)
Całkując obustronnie
\( \int \frac{u}{2(1-u)} du = \int \frac{1}{x} dx,\)
\( -\frac{1}{2} \ln(1-u) = \ln(x) + \ln(A) \)
\( \ln(1-u) = -2\ln(Ax) = \ln[(Ax)^{-2}],\)
\( 1 - u = (Ax)^{-2} = B \cdot x^{-2} , \ \ B = A^{-2}.\)
\( u = 1 - B\cdot x^{-2}.\)
Uzmienniamy stałą \( B \)
\( u (x) = 1 - B(x)\cdot x^{-2} \)
Obliczamy \( u' \) i podstawiamy do równania \( (2)\)
\( -B'(x) \cdot x^{-2} +2 B(x)\cdot x^{-3} = \frac{2}{x}- \frac{2}{x} +2B(x)\cdot x^{-3} \)
Stąd
\( -B'\cdot x^{-3} = 0, \)
\( B(x) = C.\)
R.O.R.N.:
\( y = x(1 - Cx^{-2}) = x - \frac{C}{x}. \)
Jest to równanie różniczkowe - zwyczajne niejednorodne jednokładności - postaci \( y' = g\left(\frac{y}{x}\right).\)
Rozpatrujemy je w zbiorze \( D = \{(x,y): x\neq 0 \}.\)
Sprowadzamy do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, wprowadzając pomocniczą funkcję niewiadomą:
\( u = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x},\) gdzie \( y = \phi(x). \)
Mamy więc \( \phi(x) = x \cdot \psi(x), \) oraz \( \phi'(x) = \psi(x) + x\cdot \psi'(x).\)
Wstawiając do równania \( (1) \) otrzymujemy
\( \psi(x) + x \cdot \psi'(x) + \psi(x) = 2\)
\( \psi(x) = \frac{2 - 2\psi(x)}{x} \)
Równanie \( (1) \) sprowadziliśmy do równania
\( u' = \frac{2 - 2u}{x} \ \ (2), \)
które rozpatrujemy w zbiorze \( P = \{ (x,y): x\neq 0, \ \ -\infty < w < \infty \} \)
\( (2) \) jst równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Rozdzielając zmienne otrzymujemy:
\( \frac{u'}{2(1-u)} = \frac{1}{x} \)
Całkując obustronnie
\( \int \frac{u}{2(1-u)} du = \int \frac{1}{x} dx,\)
\( -\frac{1}{2} \ln(1-u) = \ln(x) + \ln(A) \)
\( \ln(1-u) = -2\ln(Ax) = \ln[(Ax)^{-2}],\)
\( 1 - u = (Ax)^{-2} = B \cdot x^{-2} , \ \ B = A^{-2}.\)
\( u = 1 - B\cdot x^{-2}.\)
Uzmienniamy stałą \( B \)
\( u (x) = 1 - B(x)\cdot x^{-2} \)
Obliczamy \( u' \) i podstawiamy do równania \( (2)\)
\( -B'(x) \cdot x^{-2} +2 B(x)\cdot x^{-3} = \frac{2}{x}- \frac{2}{x} +2B(x)\cdot x^{-3} \)
Stąd
\( -B'\cdot x^{-3} = 0, \)
\( B(x) = C.\)
R.O.R.N.:
\( y = x(1 - Cx^{-2}) = x - \frac{C}{x}. \)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równania różniczkowe zwyczajne I-go rzędu
1.
\(\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0\\
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\\
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\
\int\frac{dy}{y}=-\int\frac{dx}{x}\\
\ln y=-\ln x+C_1\\
y=\frac{1}{x}C\\
y=\frac{C}{x}\)
uzmienniamy stałą
\(y'=\frac{C'x-C}{x^2}\\
y'=\frac{C'}{x}-\frac{C}{x^2}\\\)
\(\frac{C'}{x}-\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=2\\
C'=2x\\
C=x^2\)
rozwiązanie:
\(y=\frac{x^2}{x}+\frac{C}{x}\\
y=\frac{C}{x}+x\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę