Twierdzenie sinusów

[cucumberppp]

1. W trójkącie ostrokątnym ABC dane są dwa boki AB =6 oraz BC=5 sinus kąta ABC jest równy \({\sqrt3\over2}\). Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta

2. Boki równoległoboku mają długości 2 i 5 a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę \(60^\circ\). Wyznacz długości przekątnych

3. W trójkącie ABC dane są długości boków AB=4 i BC=12 natomiast kąt ABC ma miarę \(45^\circ\). Oblicz długość boku AC

[Jerry]

Te zadania, wg mnie, związane są z wzorem cosinusów!

1. W trójkącie ostrokątnym ABC dane są dwa boki AB =6 oraz BC=5 sinus kąta ABC jest równy pierwiastek z 3/2. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta

Skoro \(\sin\beta={\sqrt3\over2}\), to \(\cos\beta={1\over2}\) i pozostaje Ci wstawienie do wzoru:
\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\beta\)
i doliczenie.

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Boki równoległoboku mają długości 2 i 5 a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 60 stopni. Wyznacz długości przekątnych

Skoro kąt ostry równoległoboku ma miarę \(60^\circ\), to kąt rozwarty ma \(120^\circ\) i

• krótsza przekątna ma długość \(p\) taką, że
  \(p^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot\cos60^\circ\)
• dłuższa przekątna ma długość \(q\) taką, że
  \(q^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot\cos120^\circ\)

Pozostaje doliczyć...

Pozdrawiam
PS. \(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-{1\over2}\)

[Jerry]

3. W trójkącie ABC dane są długości boków AB=4 i BC=12 natomiast kąt ABC ma miarę 45 stopni. Oblicz długość boku AC

Analogicznie jak wyżej:
\(|AC|^2=4^2+12^2-2\cdot4\cdot12\cdot\cos45^\circ\)

Pozdrawiam

[radagast]

Rozwiązanie Jerrego (mam na myśli zadanie 3) jest oczywiście najlepsze , bo najprostsze ale oparte na twierdzeniu cosinusów, a w tytule jest tw sinusów
Zatem rozwiązanie konkurencyjne:
\( \frac{x}{\sin 45^o } = \frac{12}{\sin \alpha }= \frac{4}{\sin(135^o- \alpha )} \)
i mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
A obrazek jest taki:

Zrzut ekranu 2023-11-25 091053.png

[Jerry]

OK, ale

Te zadania, wg mnie, związane są z wzorem cosinusów!

Pozdrawiam

[carry2693a]

The sides of a parallelogram have lengths 2 and 5 and the acute angle of the parallelogram measures 60 degrees. Determine the lengths of the diagonals...

[janusz55]

From cosine theorem

\( d^2_{1} = 2^2 + 5^2 -2\cdot 2\cdot 5 \cdot \cos(60^{o}) \ \ ... \)

\( d_{1} = \ \ ... \)

\( d^2_{2} = 2^2 + 5^2 -2\cdot 2\cdot 5 \cdot \cos(120^{o}) = \ \ ...\)

\( d_{2} = \ \ ... \)