Twierdzenie sinusów

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cucumberppp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 19 lis 2023, 19:46
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Twierdzenie sinusów

Post autor: cucumberppp »

1. W trójkącie ostrokątnym ABC dane są dwa boki AB =6 oraz BC=5 sinus kąta ABC jest równy \({\sqrt3\over2}\). Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta

2. Boki równoległoboku mają długości 2 i 5 a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę \(60^\circ\). Wyznacz długości przekątnych

3. W trójkącie ABC dane są długości boków AB=4 i BC=12 natomiast kąt ABC ma miarę \(45^\circ\). Oblicz długość boku AC
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: Jerry »

Te zadania, wg mnie, związane są z wzorem cosinusów!
cucumberppp pisze: 19 lis 2023, 19:53 1. W trójkącie ostrokątnym ABC dane są dwa boki AB =6 oraz BC=5 sinus kąta ABC jest równy pierwiastek z 3/2. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta
Skoro \(\sin\beta={\sqrt3\over2}\), to \(\cos\beta={1\over2}\) i pozostaje Ci wstawienie do wzoru:
\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\beta\)
i doliczenie.

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 19 lis 2023, 19:53 2. Boki równoległoboku mają długości 2 i 5 a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 60 stopni. Wyznacz długości przekątnych
Skoro kąt ostry równoległoboku ma miarę \(60^\circ\), to kąt rozwarty ma \(120^\circ\) i
  • krótsza przekątna ma długość \(p\) taką, że
    \(p^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot\cos60^\circ\)
  • dłuższa przekątna ma długość \(q\) taką, że
    \(q^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot\cos120^\circ\)
Pozostaje doliczyć...

Pozdrawiam
PS. \(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-{1\over2}\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 19 lis 2023, 19:53 3. W trójkącie ABC dane są długości boków AB=4 i BC=12 natomiast kąt ABC ma miarę 45 stopni. Oblicz długość boku AC
Analogicznie jak wyżej:
\(|AC|^2=4^2+12^2-2\cdot4\cdot12\cdot\cos45^\circ\)

Pozdrawiam
radagast
Guru
Guru
Posty: 17552
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7436 razy
Płeć:

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: radagast »

Rozwiązanie Jerrego (mam na myśli zadanie 3) jest oczywiście najlepsze , bo najprostsze ale oparte na twierdzeniu cosinusów, a w tytule jest tw sinusów
Zatem rozwiązanie konkurencyjne:
\( \frac{x}{\sin 45^o } = \frac{12}{\sin \alpha }= \frac{4}{\sin(135^o- \alpha )} \)
i mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
A obrazek jest taki:
Zrzut ekranu 2023-11-25 091053.png
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: Jerry »

OK, ale
Jerry pisze: 19 lis 2023, 21:47 Te zadania, wg mnie, związane są z wzorem cosinusów!
Pozdrawiam
carry2693a
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 27 lis 2023, 17:03
Płeć:

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: carry2693a »

The sides of a parallelogram have lengths 2 and 5 and the acute angle of the parallelogram measures 60 degrees. Determine the lengths of the diagonals...
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Twierdzenie sinusów

Post autor: janusz55 »

From cosine theorem

\( d^2_{1} = 2^2 + 5^2 -2\cdot 2\cdot 5 \cdot \cos(60^{o}) \ \ ... \)

\( d_{1} = \ \ ... \)

\( d^2_{2} = 2^2 + 5^2 -2\cdot 2\cdot 5 \cdot \cos(120^{o}) = \ \ ...\)

\( d_{2} = \ \ ... \)