Założenia na x

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 15:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Założenia na x

Post autor: mosdef21 »

Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
a) \( \frac{\ctg x +1}{\ctg x -1}= \frac{\tg x+1}{1-\tg x} \)
b) \(\tg x +\ctg x =3\)

I jeszcze jeśli \(1+\sin x\neq 0\) oraz \(\cos x\neq 0\) to \(x \in \rr \bez {?} \)
Czy nie powinno być tak? \(x \in \rr \bez \left\{ { \frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi } \right\} \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3425
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy

Re: Założenia na x

Post autor: Jerry »

mosdef21 pisze: 05 lis 2023, 23:50 Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
a) \( \frac{\ctg x +1}{\ctg x -1}= \frac{\tg x+1}{1-\tg x} \)
  • \(\sin x\ne 0\), żeby \(\ctg x\) istniał,
  • \(\ctg x\ne 1\), żeby istniał ułamek lewej strony równania,
  • \(\cos x\ne0\), żeby \(\tg x\) istniał,
  • \(\tg x\ne1\), żeby ułamek prawej strony równania istniał.
Pozdrawiam
PS. To równanie, w swojej dziedzinie, jest tożsamością
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3425
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy

Re: Założenia na x

Post autor: Jerry »

mosdef21 pisze: 05 lis 2023, 23:50 Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
b) \(\tg x +\ctg x =3\)
Z powodów jak wyżej:
\(D=\{x\in\rr; \sin x\ne0\wedge\cos x\ne0\}=\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\{k\cdot{\pi\over2}\}\)

Pozdrawiam
PS.
\(t+{1\over t}=3\iff (t^2-3t+1=0\wedge t\ne0)\\
t={3-\sqrt5\over2}\vee t={3+\sqrt5\over2}\\
(x=\arctg{3-\sqrt5\over2}+k\cdot\pi\vee x=\arctg{3+\sqrt5\over2}+k\cdot\pi)\wedge k\in\zz\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3425
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1873 razy

Re: Założenia na x

Post autor: Jerry »

mosdef21 pisze: 05 lis 2023, 23:50 ... jeśli \(1+\sin x\neq 0\) oraz \(\cos x\neq 0\) to \(x \in \rr \bez {?} \)
Czy nie powinno być tak? \(x \in \rr \bez \left\{ { \frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi } \right\} \)
Zauważ, że jeżeli \(\cos x\neq 0\), to z "jedynki" \(|\sin x|\ne 1\) i warunek \(1+\sin x\neq 0\) jest spełnione. Zatem wystarczy
\[x\in\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\left\{{\pi\over2}+k\cdot\pi\right\}\]
chociaż Twoja wersja nie jest niepoprawna, tylko... "brzydka"?

Pozdrawiam
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 15:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Założenia na x

Post autor: mosdef21 »

A dlaczego np \(x\) musi być różne od \( \frac{\pi}{2} \)? Przecież wtedy tylko kosinus przyjmuje wartość zero, sinus wartość jeden. A chyba upraszczając to z sinusem to wychodzi że sinus musi być różny od minus jeden a nie same jedynki?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10380 razy
Płeć:

Re: Założenia na x

Post autor: eresh »

mosdef21 pisze: 06 lis 2023, 08:44 A dlaczego np \(x\) musi być różne od \( \frac{\pi}{2} \)? Przecież wtedy tylko kosinus przyjmuje wartość zero, sinus wartość jeden. A chyba upraszczając to z sinusem to wychodzi że sinus musi być różny od minus jeden a nie same jedynki?
Jeżeli kosinus jest w mianowniku to musi być różny od zera
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 15:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Założenia na x

Post autor: mosdef21 »

Ok ale dlaczego w przypadku k=0 kosinus wiadomo ale sinus dlaczego am być różny od 1?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10380 razy
Płeć:

Re: Założenia na x

Post autor: eresh »

mosdef21 pisze: 06 lis 2023, 09:26 Ok ale dlaczego w przypadku k=0 kosinus wiadomo ale sinus dlaczego am być różny od 1?
jeżeli \(\cos x\neq 0\) to sinus nie będzie równy jeden - wynika to z jedynki trygonometrycznej
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍