Założenia na x

[mosdef21]

Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
a) \( \frac{\ctg x +1}{\ctg x -1}= \frac{\tg x+1}{1-\tg x} \)
b) \(\tg x +\ctg x =3\)

I jeszcze jeśli \(1+\sin x\neq 0\) oraz \(\cos x\neq 0\) to \(x \in \rr \bez {?} \)
Czy nie powinno być tak? \(x \in \rr \bez \left\{ { \frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi } \right\} \)

[Jerry]

Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
a) \( \frac{\ctg x +1}{\ctg x -1}= \frac{\tg x+1}{1-\tg x} \)

• \(\sin x\ne 0\), żeby \(\ctg x\) istniał,
• \(\ctg x\ne 1\), żeby istniał ułamek lewej strony równania,
• \(\cos x\ne0\), żeby \(\tg x\) istniał,
• \(\tg x\ne1\), żeby ułamek prawej strony równania istniał.

Pozdrawiam
PS. To równanie, w swojej dziedzinie, jest tożsamością

[Jerry]

Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
b) \(\tg x +\ctg x =3\)

Z powodów jak wyżej:
\(D=\{x\in\rr; \sin x\ne0\wedge\cos x\ne0\}=\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\{k\cdot{\pi\over2}\}\)

Pozdrawiam

PS.

\(t+{1\over t}=3\iff (t^2-3t+1=0\wedge t\ne0)\\
t={3-\sqrt5\over2}\vee t={3+\sqrt5\over2}\\
(x=\arctg{3-\sqrt5\over2}+k\cdot\pi\vee x=\arctg{3+\sqrt5\over2}+k\cdot\pi)\wedge k\in\zz\)

[Jerry]

... jeśli \(1+\sin x\neq 0\) oraz \(\cos x\neq 0\) to \(x \in \rr \bez {?} \)
Czy nie powinno być tak? \(x \in \rr \bez \left\{ { \frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi } \right\} \)

Zauważ, że jeżeli \(\cos x\neq 0\), to z "jedynki" \(|\sin x|\ne 1\) i warunek \(1+\sin x\neq 0\) jest spełnione. Zatem wystarczy
\[x\in\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\left\{{\pi\over2}+k\cdot\pi\right\}\]
chociaż Twoja wersja nie jest niepoprawna, tylko... "brzydka"?

Pozdrawiam

[mosdef21]

A dlaczego np \(x\) musi być różne od \( \frac{\pi}{2} \)? Przecież wtedy tylko kosinus przyjmuje wartość zero, sinus wartość jeden. A chyba upraszczając to z sinusem to wychodzi że sinus musi być różny od minus jeden a nie same jedynki?

[eresh]

A dlaczego np \(x\) musi być różne od \( \frac{\pi}{2} \)? Przecież wtedy tylko kosinus przyjmuje wartość zero, sinus wartość jeden. A chyba upraszczając to z sinusem to wychodzi że sinus musi być różny od minus jeden a nie same jedynki?

Jeżeli kosinus jest w mianowniku to musi być różny od zera

[mosdef21]

Ok ale dlaczego w przypadku k=0 kosinus wiadomo ale sinus dlaczego am być różny od 1?

[eresh]

Ok ale dlaczego w przypadku k=0 kosinus wiadomo ale sinus dlaczego am być różny od 1?

jeżeli \(\cos x\neq 0\) to sinus nie będzie równy jeden - wynika to z jedynki trygonometrycznej