Obliczyć granicę

[Maliss]

\( \Lim_{x\to + \infty } m( \sqrt[m]{x}-1)\)

[radagast]

\( \Lim_{x\to + \infty } m( \sqrt[m]{x}-1)\)

przypuszczam , że oryginalna treść to
\( \Lim_{m\to + \infty } m ( \sqrt[m]{x}-1)\), przy założeniu , że \( x>0\)

[radagast]

I wtedy \( \Lim_{m\to + \infty } m ( \sqrt[m]{x}-1)=\ln x\)

[Maliss]

Kurczę problem jest taki, że nie ma tego założenia.

[radagast]

no to pierwiastkować nie możesz. ( o ile pamiętam to \( \sqrt{-2} \) nie istnieje ( w liczbach rzeczywistych))

[Maliss]

To zakładam, że granica nie istnieje? Dla pewności podpatrzyłem inne podpunkty i jeśli są jakieś założenia to są wypisane tradycyjnie po przecinku tutaj nic nie ma. Tyle, że treść zadania mówi oblicz granicę sam nie wiem.

[radagast]

No to może rzeczywiście chodzi o granicę przy x dążącym do nieskończoności. Ale wtedy to po prostu nieskończoność i po krzyku.

[Maliss]

Dobra dzięki spróbuje z czymś innym się pobawić.

[Maliss]

Ok wiem, że wynik to \( \ln x\) dostałem polecenia aby obliczyć to za pomocą \((a-b)^m\) i myślę żeby:
(bez zakładania, że x > 0)

\(a = x^ \frac{1}{m} \)
b = 1

[radagast]

\( \Lim_{x\to + \infty } m( \sqrt[m]{x}-1)\)

Ja poszłam na łatwiznę i zastosowałam regułę de l'Hospitala:
\( \Lim_{m\to + \infty } m( \sqrt[m]{x}-1)= \Lim_{m\to + \infty } \frac{x^ \frac{1}{m} -1}{ \frac{1}{m} } =\Lim_{t\to 0 } \frac{x^t -1}{ t }=^H=\Lim_{t\to 0 } \frac{x^t\ln x }{ 1 }=\ln x\)
(ale upieram się przy założeniu \(x \ge 0\))

[Maliss]

Właśnie problem polega na tym, że pomimo dostępności reguły l'Hospitala kazano mi to wykonać w ten nie inny sposób

[janusz55]

\( \lim_{m\to \infty} m\cdot ( \sqrt[m]{x}-1) = \lim_{m\to \infty} m\cdot (x^{\frac{1}{m}} -1) = \lim_{m\to \infty} \frac{x^{\frac{1}{m}}-1}{\frac{1}{m}}=\)

Podstawienie:

\( \frac{1}{m} := t \)

\( = \lim_{t\to 0} \frac{x^{t}-1}{t} = \ln(x).\)