janusz55 pisze: ↑18 kwie 2023, 19:45
Równanie charakterystyczne ma pierwiastki pojedyńcze. Niejednorodnością jest wielomian pierwszego stopnia zmiennej
\( n.\)
To prawda.
Zwykle rozwiązanie ogólne nie ma wpływu na rozwiązanie szczególne, jednak tu tak nie jest. W poprzednim poscie napisałem dlaczego.
To, że źle przewidujesz rozwiązanie szczególne dostałbyś już tu:
janusz55 pisze: ↑15 kwie 2023, 20:48
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia zmiennej
\( k\in \nn.\)
\( a^{s}_{k} = A\cdot k + B \)
Wyznaczamy wartości współczynników
\( A, \ \ B. \)
\( A(k+3) +B -A(k+2)-B -4A(k+1) -4B +Ak + B \equiv 6k -1.\)
\( Ak +3A+B -Ak -2A -B -4Ak -4A-4B +Ak +B \equiv 6k -1 \)
\( -3Ak - 3A -3B \equiv 6k-1 \)
gdybyś się nie pomylił.
Powinno być:
\( A(k+3) +B -A(k+2)-B -4A(k+1) -4B +4Ak + 4B = 6k -1 \)
co daje sprzeczność:
\(-3A=6k-1\)
wskazującą na błędne przewidywanie.
PS
Alternatywne zastosowanie metody przewidywania:
Skoro rozwiązanie ma mieć postać
\(a_n=A(-2)^n+B+C(2)^n+Dn^2 +En\) to można
z rekurencji wyliczyć
\(a_3\) oraz
\(a_4\) i dla znanych warunków początkowych rozwiązać układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi A, B, C, D i E.
PPS
Niezachodzenie choć jednej z tych równości
Jerry pisze: ↑19 kwie 2023, 10:25
\(2^0+5-0^2\nad{?}{=}6\\
2^1+5-1^2\nad{?}{=}6\\
2^2+5-2^2\nad{?}{=}5\)
wskazuje na błąd rachunkowy
a tej, gdy powyższe zachodzą
Jerry pisze: ↑19 kwie 2023, 10:25
\(2^{n-1}+5-(n-1)^2+ 4(2^{n-2}+5-(n-2)^2) − 4(2^{n-3}+5-(n-3)^2) + \\+6n − 19\nad{?}{=} 2^n+5-n^2\)
na błąd merytoryczny.