n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

[Megu]

Dzień dobry, nie jestem w stanie znaleźć sposobu rozwiązania tego zadania
Dany jest ciąg rekurencyjny \(a_n\), w którym \(a_0 = 6, a_1 = 6, a_2 = 5\) i \(a_n = a_{n−1} + 4a_{n−2} − 4a_{n−3} + 6n − 19\) dla \(n\ge3.\)
Wyznaczyć jawny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu

[janusz55]

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o współczynnikach całkowitych:

\( a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 \)

przy warunkach początkowych: \( a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.\)

Niech \( k = n-3,\ \ n = k+3, \)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\( a_{k+3} - a_{k+2} -4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.\)


Rozwiążemy metodą, polegającą na znalezieniu rozwiązania ogólnego równania jednorodnego, a następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego w oparciu o metodę przewidywania (współczynników nieoznaczonych).

Równanie jednorodne:

\( a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 \)

Równanie charakterystyczne:

\( x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, \)

ma pierwiastki:

\( x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0\)

\( x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. \)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\( a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c \) - stałe

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia zmiennej \( k\in \nn.\)

\( a^{s}_{k} = A\cdot k + B \)

Wyznaczamy wartości współczynników \( A, \ \ B. \)

\( A(k+3) +B -A(k+2)-B -4A(k+1) -4B +Ak + B \equiv 6k -1.\)

\( Ak +3A+B -Ak -2A -B -4Ak -4A-4B +Ak +B \equiv 6k -1 \)

\( -3Ak - 3A -3B \equiv 6k-1 \)

Stąd

\( \begin{cases} -3A = 6\\ B = \frac{1-3A}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} A = -2 \\ B = \frac{7}{3} \end{cases} \)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

\( a^{s}_{k} = -2k + \frac{7}{3}. \)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\( a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} - 2k +\frac{7}{3} \ \ (*)\)

Wyznaczamy wartości współczynników \( a, \ \ b, \ \ c \) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\( \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (-1)^{0} +c\cdot 2^{0} -2\cdot 0 + \frac{7}{3} \\ 6 = a\cdot(-2)^{1} +b \cdot (-1)^{1} +c\cdot 2^{1} -2\cdot 1 + \frac{7}{3} \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (-1)^{2} +c\cdot 2^{2} -2\cdot 2 + \frac{7}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a + b + c = \frac{11}{3} \\ -2a -b + c = \frac{17}{3} \\ 4a +b+4c = \frac{20}{3} \end{cases} \)

\( \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{19}{12} \\ \frac{32}{12} \\ \frac{31}{12} \end{matrix} \right).\)

Wyraz ogólny ciągu:

\( a_{k} = -\frac{19}{12}\cdot (-2)^{k} + \frac{32}{12}\cdot (-1)^{k} + \frac{31}{12} \cdot 2^{k} - 2k +\frac{7}{3}. \)

[Megu]

Dobry wieczór,
Rozwiązanie prawdopodobnie jest niepoprawne gdyż z pierwszego równania po podstawieniu 3 wychodzi liczba 4 a po podstawieniu pod wzór jawny wyprowadzony wyżej wychodzi 27

[janusz55]

Proszę wykonać obliczenia i wskazać błąd.

[kerajs]

Narzucający się od razu błąd:
Skoro \(x_2=1\) to we wzorze ogólnym powinno być \(1^k\) zamiast \((-1)^k\) .
Niestety nie jest to jedynie literówka, skoro i współczynniki były liczone dla \((-1)^n\) .

[janusz55]

\(\begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c\cdot 2^{0} -2\cdot 0 + \frac{7}{3} \\ 6 = a\cdot(-2)^{1} +b \cdot (1)^{1} +c\cdot 2^{1} -2\cdot 1 + \frac{7}{3} \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} -2\cdot 2 + \frac{7}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b + c = \frac{11}{3} \\ -2a +b + c = \frac{17}{3} \\ 4a +b+4c = \frac{20}{3} \end{cases}\)

\(\left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{22}{9} \\ \frac{24}{9} \\ \frac{31}{9} \end{matrix} \right).\)


\( a_{k} = -\frac{22}{9}\cdot (-2)^{k} + \frac{24}{9}\cdot (1)^{k} + \frac{31}{9} \cdot 2^{k} - 2k +\frac{7}{3}.\)

[janusz55]

\( \begin {cases} a +b +c = \frac{11}{3} \\ -2a +b +2c = \frac{17}{3} \\ 4a +b +4c = \frac{20}{3} \end{cases} \)

Rozwiążemy ten układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa-Jordana:

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\-2 & 1 & 2 & \frac{17}{3} \\ 4 & 1 & 4 & \frac{20}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2}+ w_{1} \cdot 2 \\ w_{3}- w_{1}\cdot 4 \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & -3 & 0 & -\frac{24}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{3} + w_{2} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & 0 & 4 & -\frac{15}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{3}\cdot \frac{1}{4} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2} - w_{3}\cdot 4 \\ w_{1} - w_{3} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{29}{12} \\ 0 & 3 & 0 & \frac{39}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2}\cdot \frac{1}{3} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{29}{12} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{1} - w_{2} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-3}{12} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{12} \\ \frac{32}{12} \\ -\frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( x_{k} = -\frac{3}{12} \cdot (-2)^{k} + \frac{32}{12} \cdot (1)^{k} + \frac{15}{12}\cdot (2)^{k} - 2k + \frac{7}{3}.\)

[nijak]

Muszę zawiadomić, że wszystkie twoje rozwiązania są niepoprawne

Pozdrawiam

[janusz55]

Dlaczego nie jest poprawne ?

[nijak]

Ponieważ powinno być tak co do tego układu:

\(\begin{cases} a + b + c = \frac{11}{3} \\ -2a +b + c = \frac{17}{3} \\ 4a +b+4c = \frac{20}{3} \end{cases}\)

\[\begin{cases} a=- \frac{2}{3} \\ b= \frac{8}{3} \\ c= \frac{5}{3} \end{cases} \]
Zaś w drugim uwzględniasz inny układ równań:

\(\begin{cases} a + b + c = \frac{11}{3} \\ -2a +b + 2c = \frac{17}{3} \\ 4a +b+4c = \frac{20}{3} \end{cases}\)

który rozwiązujesz metodą, która ładnie brzmi, ale również niepoprawnie!
Jeśli chcesz wiedzieć to tutaj wygląda to tak:
\[ \begin{cases} a=- \frac{1}{4} \\ b= \frac{8}{3} \\ c= \frac{5}{4} \end{cases} \]
Pozdrawiam

[janusz55]

Proponuję przyjrzeć się metodzie Gaussa- Jordana i krok po kroku sprawdzić rozwiązanie tego układu.

[janusz55]

\( \begin {cases} a +b +c = \frac{11}{3} \\ -2a +b +2c = \frac{17}{3} \\ 4a +b +4c = \frac{20}{3} \end{cases} \)

Rozwiążemy ten układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa-Jordana:

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\-2 & 1 & 2 & \frac{17}{3} \\ 4 & 1 & 4 & \frac{20}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2}+ w_{1} \cdot 2 \\ w_{3}- w_{1}\cdot 4 \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & -3 & 0 & -\frac{24}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{3} + w_{2} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & 0 & 4 & \frac{15}{3} \end{matrix} \right)\)

\( w_{3}\cdot \frac{1}{4} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 3 & 4 & \frac{39}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2} - w_{3}\cdot 4 \\ w_{1} - w_{3} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{29}{12} \\ 0 & 3 & 0 & \frac{24}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{2}\cdot \frac{1}{3} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \frac{29}{12} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( w_{1} - w_{2} \)

\( \left (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-3}{12} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{12} \\ \frac{32}{12} \\ \frac{15}{12} \end{matrix} \right)\)

\( x_{k} = -\frac{3}{12} \cdot (-2)^{k} + \frac{32}{12} \cdot (1)^{k} + \frac{15}{12}\cdot (2)^{k} - 2k + \frac{7}{3}.\)

[kerajs]

Nieśmiało napomknę, iż mi wychodzi:
\(a_n=2^n+5-n^2\)

[nijak]

kerajs mógłbyś napisać jak do tego doszedłeś?

Pozdrawiam

[nijak]

Ja preferuję metodę Gaussa i pokaże Ci jak nią rozwiązać ten układ.

\( \left (\begin{matrix} 3& 3 & 3 & 11 \\-6 & 3& 6 & 17 \\ 12& 3 & 12 & 20\end{matrix} \right)\)
\(w_2-(-2)\cdot w_1\)

\( \left (\begin{matrix} 3& 3 & 3 & 11 \\0& 9& 12& 39 \\ 12& 3 & 12 & 20\end{matrix} \right)\)

\(w_3-4\cdot w_1\)

\( \left (\begin{matrix} 3& 3 & 3 & 11 \\0& 9& 12 & 39 \\ 0& -9& 0& -24\end{matrix} \right)\)

\(w_3-(-1)\cdot w_2\)

\( \left (\begin{matrix} 3& 3 & 3 & 11 \\0& 9& 12 & 39 \\ 0& 0& 12 & 15\end{matrix} \right)\)

Rozwiąż ten układ równań i napisz kogo rozwiązanie jest poprawne.
\[ \begin{cases} 3a+3b+3c=11\\ 9b+12c=39\\ 12c=15\end{cases} \]
I sam znajdź błąd i daj znać gdzie był. Ja widzę ten mankament

Pozdrawiam