Obliczając pewną całkę wyszedł mi taki wynik:
\( \frac{1}{4}\ln|2x-1+ \sqrt{4x^{2}-4x+5} |+C \)
Natomiast w odpowiedziach znajduje się taki wynik:
\( \frac{1}{4}\ln |x- \frac{1}{2}+ \sqrt{x^{2}-x+ \frac{5}{4} } |+C \)
Czy te odpowiedzi są równoważne? Jeżeli tak to dlaczego? Na jakiej zasadzie ta dwójka została "wyciągnięta".
Równoważność wyników.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Równoważność wyników.
Dwie funkcje pierwotne różnią się co najwyżej o stałą. Mamy\[\ln\left|2x-1+ \sqrt{4x^{2}-4x+5}\right|=\ln\left|2\left(x-\frac{1}{2}+ \sqrt{x^{2}-x+\frac{5}{4}}\right)\right|=\ln 2+\ln\left|x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^{2}-x+\frac{5}{4}}\right|.\]Tak więc \(\ln 2\) zaliczasz do stałej całkowania i już. Okazuje się, że oba logarytmy obecne w Twoim poście mają tę samą pochodną.