Pole obszaru

[anka]

Zadanie 6.
Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y = x^2-2x-3 ,\ \ \ y = x + 1\)

b) \(y^2 = 2x-5 ,\ \ \ y = x - 4\)

c) \(y = e^{-x} ,\ \ \ y = e^{2x},\ \ \ y = e^2\)

d) \(x = y^2-y,\ \ \ x = y-y^2\)

Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce

[patryk00714]

a) \(x^2-2x-3=x+1\)

\(x^2-3x-4=0\)

\(\Delta=25\)

\(x_1=\frac{3-5}{2}=-1 \;\;\;\ x_2=4\)

\(P= \int_{-1}^{4} \left(x+1-x^2+2x+3 \right)dx= \int_{-1}^{4} \left(-x^2+3x+4 \right)dx= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+4x \right]^4_{-1}=\frac{125}{6}\)

[patryk00714]

\(y+4=\frac{1}{2}y^2+\frac{5}{2}\)

\(\frac{1}{2}y^2-y-\frac{3}{2}=0\)

\(\Delta=1+3=4\)

\(y_1=3 \;\;\;\ y_2=-1\)

\(P= \int_{-1}^{3} \left(y+4-(\frac{1}{2}y^2+\frac{5}{2} \right)dy = \int_{-1}^{3} \left(-\frac{1}{2}y^2+y+\frac{3}{2} \right)dy= \left[-\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{2}y^2+\frac{3}{2}y \right]^3_{-1}=\)

\(=-\frac{27}{6}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2})=\frac{27}{6}+\frac{5}{6}=\frac{16}{3}\)

[patryk00714]

Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce

no to jest gotowiec

[anka]

Raczej nie, granice całkowania nie zostały policzone

[patryk00714]

już są obliczenia:D

[patryk00714]

c) \(e^2=e^{-x} \Rightarrow x=-2 \;\;\;\;\;\;\ e^{2x}=e^2 \Rightarrow x=1\)

rozpatrywany obszar nie jest normalny ze względu na x, zatem podzielimy go prostą \(x=0\)

\(P= \int_{-2}^{0} \left(e^2-e^{-x} \right)dx+ \int_{0}^{1} \left(e^2-e^{2x} \right) dx= |\left[e^2x+e^{-x} \right]^0_{-2}|+ |\left[e^2x-\frac{1}{2}e^{2x} \right]^1_0|= \\= |\left[-2e^2+e^2-(0+1) \right]|+ |\left[e^2-\frac{1}{2}e^2-(0-\frac{1}{2}) \right]|=\)

\(e^2+1+\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(e^2+1)\)

[patryk00714]

d) \(y^2-y=y-y^2\)

\(2y^2-2y=0\)

\(2y(y-1)=0\)

\(y_1=0 \;\;\;\ y_2=1\)

całkujemy po y:

\(P= \int_{0}^{1} \left(y-y^2-(y^2-y \right)dy= \int_{0}^{1} \left(2y-2y^2 \right)dy= \left[y^2-\frac{2}{3}y^3 \right]^1_0=\frac{1}{3}\)