Zadanie 6.
Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y = x^2-2x-3 ,\ \ \ y = x + 1\)
b) \(y^2 = 2x-5 ,\ \ \ y = x - 4\)
c) \(y = e^{-x} ,\ \ \ y = e^{2x},\ \ \ y = e^2\)
d) \(x = y^2-y,\ \ \ x = y-y^2\)
Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce
Pole obszaru
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Pole obszaru
a) \(x^2-2x-3=x+1\)
\(x^2-3x-4=0\)
\(\Delta=25\)
\(x_1=\frac{3-5}{2}=-1 \;\;\;\ x_2=4\)
\(P= \int_{-1}^{4} \left(x+1-x^2+2x+3 \right)dx= \int_{-1}^{4} \left(-x^2+3x+4 \right)dx= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+4x \right]^4_{-1}=\frac{125}{6}\)
\(x^2-3x-4=0\)
\(\Delta=25\)
\(x_1=\frac{3-5}{2}=-1 \;\;\;\ x_2=4\)
\(P= \int_{-1}^{4} \left(x+1-x^2+2x+3 \right)dx= \int_{-1}^{4} \left(-x^2+3x+4 \right)dx= \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2+4x \right]^4_{-1}=\frac{125}{6}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Pole obszaru
\(y+4=\frac{1}{2}y^2+\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{2}y^2-y-\frac{3}{2}=0\)
\(\Delta=1+3=4\)
\(y_1=3 \;\;\;\ y_2=-1\)
\(P= \int_{-1}^{3} \left(y+4-(\frac{1}{2}y^2+\frac{5}{2} \right)dy = \int_{-1}^{3} \left(-\frac{1}{2}y^2+y+\frac{3}{2} \right)dy= \left[-\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{2}y^2+\frac{3}{2}y \right]^3_{-1}=\)
\(=-\frac{27}{6}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2})=\frac{27}{6}+\frac{5}{6}=\frac{16}{3}\)
\(\frac{1}{2}y^2-y-\frac{3}{2}=0\)
\(\Delta=1+3=4\)
\(y_1=3 \;\;\;\ y_2=-1\)
\(P= \int_{-1}^{3} \left(y+4-(\frac{1}{2}y^2+\frac{5}{2} \right)dy = \int_{-1}^{3} \left(-\frac{1}{2}y^2+y+\frac{3}{2} \right)dy= \left[-\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{2}y^2+\frac{3}{2}y \right]^3_{-1}=\)
\(=-\frac{27}{6}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2})=\frac{27}{6}+\frac{5}{6}=\frac{16}{3}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re:
no to jest gotowiecanka pisze:Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Pole obszaru
c) \(e^2=e^{-x} \Rightarrow x=-2 \;\;\;\;\;\;\ e^{2x}=e^2 \Rightarrow x=1\)
rozpatrywany obszar nie jest normalny ze względu na x, zatem podzielimy go prostą \(x=0\)
\(P= \int_{-2}^{0} \left(e^2-e^{-x} \right)dx+ \int_{0}^{1} \left(e^2-e^{2x} \right) dx= |\left[e^2x+e^{-x} \right]^0_{-2}|+ |\left[e^2x-\frac{1}{2}e^{2x} \right]^1_0|= \\= |\left[-2e^2+e^2-(0+1) \right]|+ |\left[e^2-\frac{1}{2}e^2-(0-\frac{1}{2}) \right]|=\)
\(e^2+1+\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(e^2+1)\)
rozpatrywany obszar nie jest normalny ze względu na x, zatem podzielimy go prostą \(x=0\)
\(P= \int_{-2}^{0} \left(e^2-e^{-x} \right)dx+ \int_{0}^{1} \left(e^2-e^{2x} \right) dx= |\left[e^2x+e^{-x} \right]^0_{-2}|+ |\left[e^2x-\frac{1}{2}e^{2x} \right]^1_0|= \\= |\left[-2e^2+e^2-(0+1) \right]|+ |\left[e^2-\frac{1}{2}e^2-(0-\frac{1}{2}) \right]|=\)
\(e^2+1+\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(e^2+1)\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Pole obszaru
d) \(y^2-y=y-y^2\)
\(2y^2-2y=0\)
\(2y(y-1)=0\)
\(y_1=0 \;\;\;\ y_2=1\)
całkujemy po y:
\(P= \int_{0}^{1} \left(y-y^2-(y^2-y \right)dy= \int_{0}^{1} \left(2y-2y^2 \right)dy= \left[y^2-\frac{2}{3}y^3 \right]^1_0=\frac{1}{3}\)
\(2y^2-2y=0\)
\(2y(y-1)=0\)
\(y_1=0 \;\;\;\ y_2=1\)
całkujemy po y:
\(P= \int_{0}^{1} \left(y-y^2-(y^2-y \right)dy= \int_{0}^{1} \left(2y-2y^2 \right)dy= \left[y^2-\frac{2}{3}y^3 \right]^1_0=\frac{1}{3}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)