Pochodne częstkowe i mieszane

[niekminiacz]

Wiedząc, że funkcja f ma drugie pochodne cząstkowe ciągłe znaleźć znaleźć pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji g po y oraz pochodną mieszaną drugiego rzędu gzy dla funkcji g(x,y,z)=f(xy,x-z).

[miodzio1988]

problem pojawia się tutaj jaki?

[niekminiacz]

Nie wiem za bardzo z czego mam skorzystać. Jedyna opcja to chyba różniczkowanie złożenia. Po prostu chciałbym zobaczyć jak to się robi.

[miodzio1988]

Jak się liczy pochodną funkcji trzech zmiennych?

[niekminiacz]

Czyli pochodna cząstkowa pierwszego rządu funkcji g po y, to będzie pochodna cząstkowa funkcji zewnętrznej f po y pomnożona przez sumę pochodnych funkcji wewnętrznych xy po y i x-z po y?

[kacper218]

Poczytaj sobie:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_cz%C4%85stkowa

[niekminiacz]

g(x,y,z)=f(xy,x-z), u=xy, v=x-z
g(x,y,z)=f(u(x,y),v(x,z)),
\(\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y},
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot x+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot 0,
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot x\)
Czy to jest dobre?
I teraz nie wiem jak policzyć pochodną mieszaną drugiego rzędu z otrzymanego wyniku po z?

[niekminiacz]

\(\frac{\partial }{\partial z}\left ( \frac{\partial f}{\partial u} \right )\cdot x=\frac{\partial^{2} f }{\partial z \partial u}\cdot x=\frac{\partial ^{2}g}{\partial z \partial y}\)
Czy to jest to czego szukam?

[kacper218]

A czym są dla ciebie te funkcje f i g? - bo coś zapisu nie rozumiem...

[niekminiacz]

Nie ma podanych konkretnych funkcji f i g. Jest tylko podana równość g(x,y,z)=f(xy,x-z). Zrobiłem podstawienie u=xy i v=x-z.
I teraz funkcję f mogę zapisać jako f(u,v), pochodną cząstkową g po y policzyłem z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia.

[octahedron]

\(\frac{\partial}{\partial z}\(\frac{\partial f}{\partial u}\cdot x\)=\(\frac{\partial^2f}{\partial u^2}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial z}\)\cdot x=-\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\cdot x\)