kolo opisane na trójkącie

[kaum_erdbeere]

na trójkącie Abc o polu\(8\) opisano okrąg . Z punktu P lezącego na prostej AB poprowadzono
styczną do okręgu w punkcie C.Oblicz długość odcinków Ab i PB jeżeli \(PC=4\) oraz sinus kąta\(APC\)
równa sie\(\frac{2}{3}\)

[jola]

\(\begin{cases}P_{ \Delta APC}= \frac{1}{2} \cdot PC \cdot PA \cdot \sin \angle APC\\PC=4\\ \sin \angle APC= \frac{2}{3} \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ P_{ \Delta APC}= \frac{4}{3} \cdot PA\)

\(\begin{cases}P_{ \Delta PBC}= \frac{1}{2} \cdot PC \cdot PB \cdot \sin \angle APC\\ PC=4\\ \sin \angle APC= \frac{2}{3} \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ P_{ \Delta PBC}= \frac{4}{3} \cdot PB\)

\(\begin{cases}P_{ \Delta ABC}=P_{ \Delta APC}-P_{ \Delta PBC}\\P_{ \Delta ABC}=8\\ P_{ \Delta APC}= \frac{4}{3} \cdot PA\\ P_{ \Delta PBC}= \frac{4}{3} \cdot PB \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ PA-PB=6\)

\(\begin{cases}PC^2=PB \cdot PA\\ PA-PB=6\\PC=4\\ PA>0\\PB>0\\ AB=PA-PB\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}PB=2\\PA=8 \\ AB=6\end{cases}\)

[maromaro]

wiem ze to było już dawno ale nie rozumiem skąd tu się wzieło to że PB=2??

[irena]

\(|PB|=x\\|PA|=6+x\\4^2=x(6+x)\\x^2+6x-16=0\\\Delta=36+64=100\\x_1=\frac{-4-10}{2}<0\ \vee\ x_2=\frac{-6+10}{2}=2\\|PB|=2\)