n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: kerajs »

Można rozwiązywać jak janusz55:
janusz55 pisze: 15 kwie 2023, 20:48 Równanie charakterystyczne:
\( x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, \)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\( a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c \) - stałe

Niestety dalej jest to:
janusz55 pisze: 15 kwie 2023, 20:48 Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia zmiennej \( k\in \nn.\)
\( a^{s}_{k} = A\cdot k + B \)
co nie jest prawdą , gdyż wyraz wolny w przewidywaniu dubluje fragment rozwiązania ogólnego ( \( b\cdot (1)^{k} =b \) ).
Dlatego poprawnym przewidywaniem powinno być \( a^{s}_{k} = k(A\cdot k + B )\)

Reszta jest ... liczeniem.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1626
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 424 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: janusz55 »

Równanie charakterystyczne ma pierwiastki pojedyńcze. Niejednorodnością jest wielomian pierwszego stopnia zmiennej \( n.\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3543
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1948 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Jerry »

Cokolwiek byście nie napisali,... łatwo sprawdzić, że odpowiedź kerajsa jest poprawna :idea:

Pozdrawiam
Luiza2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 25 mar 2023, 18:30
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Luiza2 »

A jak to sprawdzić?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3543
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1948 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Jerry »

Luiza2 pisze: 18 kwie 2023, 21:23 A jak to sprawdzić?
\(2^0+5-0^2\nad{?}{=}6\\
2^1+5-1^2\nad{?}{=}6\\
2^2+5-2^2\nad{?}{=}5\\
2^{n-1}+5-(n-1)^2+ 4(2^{n-2}+5-(n-2)^2) − 4(2^{n-3}+5-(n-3)^2) + 6n − 19\nad{?}{=} 2^n+5-n^2\)
Pozdrawiam
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: kerajs »

janusz55 pisze: 18 kwie 2023, 19:45 Równanie charakterystyczne ma pierwiastki pojedyńcze. Niejednorodnością jest wielomian pierwszego stopnia zmiennej \( n.\)
To prawda.

Zwykle rozwiązanie ogólne nie ma wpływu na rozwiązanie szczególne, jednak tu tak nie jest. W poprzednim poscie napisałem dlaczego.

To, że źle przewidujesz rozwiązanie szczególne dostałbyś już tu:
janusz55 pisze: 15 kwie 2023, 20:48 Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia zmiennej \( k\in \nn.\)
\( a^{s}_{k} = A\cdot k + B \)
Wyznaczamy wartości współczynników \( A, \ \ B. \)
\( A(k+3) +B -A(k+2)-B -4A(k+1) -4B +Ak + B \equiv 6k -1.\)
\( Ak +3A+B -Ak -2A -B -4Ak -4A-4B +Ak +B \equiv 6k -1 \)
\( -3Ak - 3A -3B \equiv 6k-1 \)
gdybyś się nie pomylił.
Powinno być:
\( A(k+3) +B -A(k+2)-B -4A(k+1) -4B +4Ak + 4B = 6k -1 \)
co daje sprzeczność:
\(-3A=6k-1\)
wskazującą na błędne przewidywanie.

PS
Alternatywne zastosowanie metody przewidywania:
Skoro rozwiązanie ma mieć postać \(a_n=A(-2)^n+B+C(2)^n+Dn^2 +En\) to można
z rekurencji wyliczyć \(a_3\) oraz \(a_4\) i dla znanych warunków początkowych rozwiązać układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi A, B, C, D i E.

PPS
Niezachodzenie choć jednej z tych równości
Jerry pisze: 19 kwie 2023, 10:25 \(2^0+5-0^2\nad{?}{=}6\\
2^1+5-1^2\nad{?}{=}6\\
2^2+5-2^2\nad{?}{=}5\)
wskazuje na błąd rachunkowy
a tej, gdy powyższe zachodzą
Jerry pisze: 19 kwie 2023, 10:25 \(2^{n-1}+5-(n-1)^2+ 4(2^{n-2}+5-(n-2)^2) − 4(2^{n-3}+5-(n-3)^2) + \\+6n − 19\nad{?}{=} 2^n+5-n^2\)
na błąd merytoryczny.
Luiza2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 25 mar 2023, 18:30
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Luiza2 »

Jerry pisze: 19 kwie 2023, 10:25
Luiza2 pisze: 18 kwie 2023, 21:23 A jak to sprawdzić?
\(2^0+5-0^2\nad{?}{=}6\\
2^1+5-1^2\nad{?}{=}6\\
2^2+5-2^2\nad{?}{=}5\\
2^{n-1}+5-(n-1)^2+ 4(2^{n-2}+5-(n-2)^2) − 4(2^{n-3}+5-(n-3)^2) + 6n − 19\nad{?}{=} 2^n+5-n^2\)
Pozdrawiam
Skąd to w ogóle jest wzięte? Czego to dotyczy?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, 21:31 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; pisz po polsku!
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1626
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 424 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: janusz55 »

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o współczynnikach całkowitych:

\( a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 \)

przy warunkach początkowych: \( a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.\)

Niech \( k = n-3,\ \ n = k+3, \)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\( a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.\)


Równanie jednorodne:

\( a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 \)

Równanie charakterystyczne:

\( x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, \)

ma pierwiastki:

\( x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0\)

\( x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. \)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\( a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c \) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\( f(E(x_{k}) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 \)

\( [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k+1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k+1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(1+6k)=\)

\( = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(1+6k) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{5}{3}+ 6k\right)=\)
\( = -\frac{1}{3} \left(\frac{5}{3}k + \frac{6k}{2}(k-1)\right) = \frac{4}{9}k - k^2 \)


Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\( a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + \frac{4}{9}k - k^2. \)

Wyznaczamy wartości współczynników \( a, \ \ b, \ \ c \) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\( \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} +\frac{4}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c +\frac{4}{9}\cdot 1 -1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} +\frac{4}{9}\cdot 2 - 2^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a + b + c = 0 \\ -2a + b + 2c = \frac{59}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{73}{9} \end{cases} \)

\( \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \frac{7}{27} \\ -\frac{73}{27} \\ \frac{66}{27} \end{matrix} \right).\)

Wyraz ogólny ciągu:

\( a_{k} = \frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + -\frac{73}{27}\cdot (1)^{k} + \frac{66}{27} \cdot 2^{k} + \frac{4}{9}k - k^2. \)
Luiza2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 25 mar 2023, 18:30
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Luiza2 »

Jerry pisze: 19 kwie 2023, 10:25
Luiza2 pisze: 18 kwie 2023, 21:23 A jak to sprawdzić?
\(2^0+5-0^2\nad{?}{=}6\\
2^1+5-1^2\nad{?}{=}6\\
2^2+5-2^2\nad{?}{=}5\\
2^{n-1}+5-(n-1)^2+ 4(2^{n-2}+5-(n-2)^2) − 4(2^{n-3}+5-(n-3)^2) + 6n − 19\nad{?}{=} 2^n+5-n^2\)
Pozdrawiam
I dlaczego na znakami równości jest znak \(?\)
Luiza2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 25 mar 2023, 18:30
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Luiza2 »

A co to jest wyraz \(a_0\). Chyba każdy ciąg ma swój pierwszy wyraz czyli \(a_1\).
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3543
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1948 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Jerry »

Luiza2 pisze: 19 kwie 2023, 15:14 Skąd to w ogóle jest wzięte? Czego to dotyczy?
Przeczytaj, proszę, pierwszy post w wątku i zastanów się o co pytałaś!

Pozdrawiam
PS. Symbol \(\nad{?}{=}\) ma sens: "sprawdź, czy zachodzi równość"
PPS. Na wyższym poziomie kształcenia ciągi zaczynają się od "zerowego" czy inaczej "wstępnego" wyrazu.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1626
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 424 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: janusz55 »

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\( a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 \)

przy warunkach początkowych: \( a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.\)

Niech \( k = n-3,\ \ n = k+3, \)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\( a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.\)


Równanie jednorodne:

\( a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 \)

Równanie charakterystyczne:

\( x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, \)

ma pierwiastki:

\( x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0,\)

\( x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. \)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\( a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c \) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\( f(E(x_{k})) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 \)

\( [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k-1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k-1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(6k-1)=[/latex]
[latex] = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(6k-1) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{1}{3}- 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}k + \frac{6k}{2}(k+1)\right) = k^2 - \frac{10}{9}k \)


Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\( a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k . \)

Wyznaczamy wartości współczynników [latex] a, \ \ b, \ \ c [/latex] na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\( \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} -\frac{10}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c -\frac{10}{9}\cdot 1 +1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} -\frac{10}{9}\cdot 2 + 2^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{55}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{29}{9} \end{cases} \)

\( \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{7}{9} \\ 9 \\ -\frac{20}{9} \end{matrix} \right).\)

Wyraz ogólny ciągu:

\( a_{k} = -\frac{7}{9}\cdot (-2)^{k} + 9\cdot (1)^{k} - \frac{20}{9} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. \)

Sprawdzenie:

\( a_{0} = -\frac{7}{9} + 9 -\frac{20}{9} = \frac{-7 +81 -20}{9} = \frac{54}{9}= 6.\)

\( a_{1} = \frac{14}{9} +9 -\frac{40}{9} + 1 -\frac{10}{9} = \frac{14 +81 -40 +9 -10}{9} = \frac{54}{9} = 6.\)

\( a_{2} = -\frac{28}{9} + 9 -\frac{80}{9} + 4 - \frac{20}{9} = \frac{28+ 81 -80 +36 -20}{9} = \frac{45}{9} = 5.\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3543
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1948 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Jerry »

To sprawdź jeszcze rekurencję!

Pozdrawiam
PS. Jeśli kopiujesz post z innego forum, to poprawiaj tagi na

Kod: Zaznacz cały

[tex] [/tex]
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1626
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 424 razy

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: janusz55 »

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\( a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 \)

przy warunkach początkowych: \( a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.\)

Niech \( k = n-3,\ \ n = k+3, \)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\( a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.\)


Równanie jednorodne:

\( a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 \)

Równanie charakterystyczne:

\( x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, \)

ma pierwiastki:

\( x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0,\)

\( x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. \)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\( a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 \)

przy warunkach początkowych: \( a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.\)

Niech \( k = n-3,\ \ n = k+3, \)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\( a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.\)

\( a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c \) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\( f(E(x_{k})) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 \)

\( [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k-1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k-1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(6k-1)=\)

\( = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(6k-1) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{1}{3}- 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}k + \frac{6k}{2}(k+1)\right) = k^2 - \frac{10}{9}k \)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\( a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k . \)

Wyznaczamy wartości współczynników \( a, \ \ b, \ \ c \) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\( \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} -\frac{10}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c -\frac{10}{9}\cdot 1 +1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} -\frac{10}{9}\cdot 2 + 2^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{55}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{29}{9} \end{cases} \)

\( \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{7}{27} \\ \frac{187}{27} \\ -\frac{18}{27} \end{matrix} \right).\)

Wyraz ogólny ciągu:

\( a_{k} = -\frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + \frac{187}{27}\cdot (1)^{k} - \frac{18}{27} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. \)

Sprawdzenie:

\( a_{0} = - \frac{-7+187-18}{27}=\frac{162}{27}=6.\)

\( a_{1} = \frac{14 +187 -36 +27 -30}{27} = \frac{162}{27} = 6.\)

\( a_{2} = \frac{-28+ 187 -72 +108 -60}{27} = \frac{135}{27} = 5.\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: kerajs »

Poprawne, pełne rozwiązania można znaleźć tu:
https://matematyka.pl/wlasnosci-i-grani ... 8c50ccaa42
(pod sam koniec tamtego tematu)