Forum serwisu

A może sama spróbujesz, i pokażesz co czego potrafisz dojść?
Bo kilka podobnych zadań masz zrobionych ...

Przydaje się tzw. wzór na pochodną logarytmiczną: \(f' = f\cdot(\ln f)'\).
Pokazuje on, jak wyraża się pochodna funkcji w zależności od funkcji i pochodnej jej logarytmu (a ta pochodna jest zwykle prostsza do policzenia).

Ale paskudztwo. W analizie są dużo ciekawsze rzeczy niż liczenie pochodnych

Jedno i drugie można zrobić korzystając jedynie z def. pochodnej funkcji w punkcie. a) \lim_{x\to 1 } \frac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to 1 } \frac{\ln x-\ln 1}{x-1} = (\ln ')(1) = \frac{1}{1} = 1 b) \lim_{x\to -1 } \frac{ \sqrt[5]{x+2}-1 }{x+1} = \lim_{x\to -1 } \frac{ \sqrt[5]{x+2}-1 }{x-(-1)} = \lim_{x\...

slawekstudia6 pisze:\(...= 1+\lim_{x\to 1 } \frac{2^{x-1}-1}{x-1} =1+\lim_{x\to 1 }\frac{ \frac{ln2}{2} \cdot 2^x}{1}=1+\frac{ln2}{2}\)

Nie.
Jeśli już musisz różniczkować, to przynajmniej różniczkuj właściwą funkcję.
Ale tu nie potrzeba hospitala, wystarczy tylko skorzystać z def. pochodnej funkcji w punkcie.

a)\(\lim_{x\to 0 } \frac{arcsinx}{x} = \lim_{x\to 0 } \frac{x+o(x^2)}{x} = \lim_{x\to 0 } (1+o(x)) = 1\)

a)
np. skorzystać z tego że arcsin(x)=x+o(x^2) w otoczeniu zera.

b)
\(\lim_{x\to 1 } \frac{2^{x-1}+x-2}{x-1} = 1+\lim_{x\to 1 } \frac{2^{x-1}-1}{x-1} = 1+f'(1)\) gdzie \(f(x)=2^{x-1}\).

Dlaczego podstawiasz coraz większe: 4,5,6, skoro granica miała być w punkcie 3, z prawej strony ?

Weźmy dowolne \varepsilon>0 . Trzeba pokazać, że istnieje N, takie że dla n>N zachodzi \left| \frac{3n^2+2}{n^2+2n+1}-3\right| < \varepsilon . Nierówność ta jest równoważna nierówności \frac{6n+1}{(n+1)^2} < \varepsilon . Zauważmy, że \frac{6n+1}{(n+1)^2} < \frac{6n+6}{(n+1)^2}=\frac{6}{n+1} . Dobre...

Poza zerem ciągłość oczywista (funkcja nie jest określona na całym R, tylko na [-1,+\infty)).
Trzeba za a wziąć wartość granicy \(\lim_{x\to 0}\frac{ \sqrt{1+x}-1 }{x}\).
A to jest wartość pochodnej funkcji f(x)=\sqrt{1+x} w zerze.

Jakieś nawiasy by się przydały - w liczniku jest cała różnica ?

Z def. Heinego będzie wygodniej.
Dla dowodu na brak granicy w punktach niezerowych, skorzystaj z tego, że każda liczba rzeczywista jest granicą ciągu liczb wymiernych oraz granicą ciągu liczb niewymiernych.

PS. Można też zauważyć, że równanie Twoje jest równoważne następującemu: \((x-3)^2+(y-3)^2+(x-y)^2=0\).

A czego brakuje?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%2B+9+%3D+3x+%2B+3y+%2B+x*y Po prostu potraktuj to jako równanie kwadratowe względem np. y. Przy próbie wyznaczenia y (w zależności od x) standardową metodą, okaże się, że musi być x=3 (bo tam pod pierwiastkiem pojawia się -(x-3)^2). Para (3,3) jest jedy...

Racja. Nierówność powinna być w drugą stronę. Nierówność w tezie zadania, jeśli to ma się dać udowodnić.