Granice

[Wiktoriiia]

Oblicz granice funkcji:

a) \(\lim_{x\to 1 } \frac{lnx}{x-1}\)

b) \(\lim_{x\to -1 } \frac{ \sqrt[5]{x+2}-1 }{x+1}\)

Bardzo proszę o szybką pomoc
Odpowiedzi:
a)1
b)\(\frac{1}{5}\)

[irena]

a)
Z de l'Hospitala
\(\lim_{x\to 1} \frac{lnx}{x-1}=(H) \lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}= \lim_{x\to 1} \frac{1}{x}=\frac{1}{1}=1\)

[Wiktoriiia]

A mógłby ktoś zrobić bez reguły de l'Hospitala? Bo ja muszę to zrobić bez tej reguły.

[irena]

b)
Też
\(\lim_{x\to -1}\ \ \frac{\sqrt[5]{x+2}-1}{x+1}=(H) \lim_{x\to -1} \ \frac{\frac{1}{5\sqrt[5]{x+2^4}}}{1}= \lim_{x\to -1} \frac{1}{5\sqrt[5]{(x+2)^4}}=\frac{1}{5\cdot\sqrt[5]{1^4}}=\frac{1}{5}\)

[gpl1260]

Jedno i drugie można zrobić korzystając jedynie z def. pochodnej funkcji w punkcie.

a) \(\lim_{x\to 1 } \frac{lnx}{x-1} = \lim_{x\to 1 } \frac{\ln x-\ln 1}{x-1} = (\ln ')(1) = \frac{1}{1} = 1\)

b) \(\lim_{x\to -1 } \frac{ \sqrt[5]{x+2}-1 }{x+1} = \lim_{x\to -1 } \frac{ \sqrt[5]{x+2}-1 }{x-(-1)} = \lim_{x\to -1 } \frac{ f(x)-f(-1)}{x-(-1)} = f'(-1) = \frac{1}{5}\)