granica

[Filip25]

Wyznacz granicę ciągu:
\( \frac{(n!)^n}{(n^2)!} \)

[Jerry]

Hipoteza: granica jest zerem, potraktuj ciąg kryterium d'Alamberta!

Pozdrawiam

[Filip25]

Tak wiem, że zerem, bo mam odpowiedzi. Ale nie wiedziałem jak do tego dojsc

[Tulio]

wynik
Z podanego kryterium wnioskujemy, że szereg jest zbieżny, a więc granica ciągu musi być \(0\).

[Jerry]

Mam więcej czasu, więc:
Z wzoru Stirlinga:
\(\Limn\dfrac{(n!)^n}{(n^2)!}=\Limn\dfrac{\left(({n\over e})^n\sqrt{2\pi n}\right)^n}{\left({n^2\over e}\right)^{n^2}\sqrt{2\pi n^2}}=\Limn\sqrt{\dfrac{2^{n-1}\pi^{n-1}}{n^{2n^2-n+2}}}\)

... potraktuj ciąg kryterium d'Alamberta!

Niech \(a_n=\dfrac{2^{n-1}\pi^{n-1}}{n^{2n^2-n+2}}\)
Rozpatrzmy
\(\Limn\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\Limn\left|\dfrac{2^{n}\pi^{n}}{(n+1)^{2(n+1)^2-(n+1)+2}}\cdot\dfrac{n^{2n^2-n+2}}{2^{n-1}\pi^{n-1}}\right|=\ldots\)
Jeśli doliczysz (mnie zabrakło samozaparcia) tę granicę i będzie mniejsza niż 1, to \(\Limn a_n=0\) i moja hipoteza (odpowiedzi z książki nie znałem!) będzie prawdziwa...

Pozdrawiam
PS. A moje rachunki sprawdź!