rozwiąż równanie

[Pawm32]

\((\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{2}{3})^9 \cdot ... \cdot (\frac{2}{3})^{3n} = (\frac{2}{3})^{30}\)

[kerajs]

3+6+...+3n=30
1+2+...+n=10
n=4

[Pawm32]

3+6+...+3n=30
1+2+...+n=10
n=4

a jak to zrobić zapisując lewą stronę jako sumę ciągu, bo wtedy nic mi z tego nie wychodzi.

[kerajs]

\((\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{2}{3})^9 \cdot ... \cdot (\frac{2}{3})^{3n} = (\frac{2}{3})^{30} \\
(\frac{2}{3})^{3+6+...+3n} = (\frac{2}{3})^{30}
\)
porównując wykładniki (ze względu na monotoniczność f. wykładniczej) mam:
3+6+...+3n=30

[Pawm32]

\((\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{2}{3})^9 \cdot ... \cdot (\frac{2}{3})^{3n} = (\frac{2}{3})^{30} \\
(\frac{2}{3})^{3+6+...+3n} = (\frac{2}{3})^{30}
\)
porównując wykładniki (ze względu na monotoniczność f. wykładniczej) mam:
3+6+...+3n=30

nie o to mi chyba chodzi, nie da się jakoś z wzoru chyba \(S=(a_1 \cdot 1-q^n)/(1-q)\), czy jakoś tak. widze ze to na około bardzo i niepotrzebnie, ale powinno się chyba dać a mi nic z tego nie wychodziło.

[kerajs]

Nie można wykorzystać wzoru na sumę ciągu geometrycznego gdyż taka suma w zadaniu nie występuje. Jest za to ciąg arytmetyczny i wzór na jego sumę można użyć.