Punkty, funkcja liniowa, trójkąt

[avleyi]

Dane są punkty \( A(2,1), B(8,5). \) Na prostej będącej wykresem funckji liniowej \( 2x - y +1 = 0 \) znajdź taki punkt \( C \), by trójkąt ABC był prostokątny.

[eresh]

Dane są punkty \( A(2,1), B(8,5). \) Na prostej będącej wykresem funckji liniowej \( 2x - y +1 = 0 \) znajdź taki punkt \( C \), by trójkąt ABC był prostokątny.

to cała treść zadania, czy może jest informacja, w których wierzchołku mamy kąt prosty?

[Jerry]

Na wstępie:
Prosta zawierająca \(\overline{AB}\) ma równanie \(2x-3y-1=0\),
Prostopadłe do niej są postaci \(3x+2y+C_i=0\)
środkiem \(\overline{AB}\) jest \(Q(5,3)\) i \(|AQ|=\sqrt{13}\).

• Jeśli kąt prosty ma być w wierzchołku \(A\), to współrzędne wierzchołka \(C\) wyznacza układ równań:
  \(\begin{cases}3(x-2)+2(y-1)=0\\y=2x+1\end{cases}\iff\begin{cases}x={6\over7}\\y={19\over7}\end{cases}\)
• Jeśli kąt prosty ma być w wierzchołku \(B\), to współrzędne wierzchołka \(C\) wyznacza układ równań:
  \(\begin{cases}3(x-8)+2(y-5)=0\\y=2x+1\end{cases}\iff\begin{cases}x={44\over13}\\y={101\over13}\end{cases}\)
• Jeśli kąt prosty ma być w wierzchołku \(C\), to współrzędne wierzchołka \(C\) wyznacza układ równań:
  \(\begin{cases}(x-5)^2+(y-3)^2=\sqrt{13}^2\\y=2x+1\end{cases}\iff\left(\begin{cases}x={8\over5}\\y={13\over5}\end{cases}\vee\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}\right)\)

Istnieją zatem cztery punkty \(C\) spełniające warunki zadania

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia!