Dowód z trapezem

[WRGLG]

Dzień dobry,
poniżej zamieszczam treść zadania dowodowego z trapezem które sprawiło mi problem:
Promień okręgu wpisanego w trapez jest równy r, a dłuższa podstawa trapezu ma długość 4r. Na tym trapezie można opisać okrąg. Wykaż, że promień okręgu opisanego na trapezie ma długość \(\frac {5 \sqrt{41} r} {16}\)

[eresh]

Dzień dobry,
poniżej zamieszczam treść zadania dowodowego z trapezem które sprawiło mi problem:
Promień okręgu wpisanego w trapez jest równy r, a dłuższa podstawa trapezu ma długość 4r. Na tym trapezie można opisać okrąg. Wykaż, że promień okręgu opisanego na trapezie ma długość \(\frac {5 \sqrt{41} r} {16}\)

ABCD - dany trapez
\(\alpha=|\angle ABC|\)
DF,CE - wysokości trapezu

b - krótsza podstawa
c - ramię

\(4r+b=2c\\
b=2c-4r\)

\(|CE|^2+|EB|^2=|CB|^2\\
4r^2+(\frac{4r-b}{2})^2=c^2\\
4r^2+(\frac{4r-2c+4r}{2})^2=c^2\\
4r^2+(4r-c)^2=c^2\\
4r^2+16r^2-8rc=0\\
20r^2=8rc\\
2,5r=c\\
b=r\)

\(|AC|^2=|AE|^2+|EC|^2\\
|AC|^2=(2,5r)^2+4r^2\\
|AC|=\frac{\sqrt{41}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{2r}{c}=\frac{2r}{2,5r}=\frac{4}{5}\)

z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC
\(\frac{|AC|}{\sin\alpha}=2R\\
\frac{\sqrt{41}r}{1,6}=2R\\
R=\frac{5\sqrt{41}r}{16}\)