Mam za zadanie sprawdzić czy dwie macierze są do siebie podobne.
Wiem, że macierze \(A\) i \(B\) są do siebie podobne jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa \(P \), że \(B=P^{-1}AP\), natomiast średnio idzie mi zrozumienie jak należy to sprawdzić w praktyce.
Wiem, że jeżeli wartości własne dwóch macierzy nie są identyczne to temat jest zamknięty i te macierze nie są do siebie podobne, natomiast gdy są równe to wcale nie oznacza, że są podobne.
Czy wystarczy zatem obliczyć wektory własne obu macierzy i jeżeli są one równe sobie to macierze są podobne.
Sprecyzuje trochę pytanie:
Czy jeżeli mam dwie macierze i oba mają równe wartości własne np. \(\lambda_{1} = 1 ,\lambda_{2}= 2\)
Oraz dla odpowiednich wartości własnych wektory własne obu macierzy są identyczne to czy można już stwierdzić, że są one podobne?
Sprawdź czy macierze są podobne.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy macierze są podobne.
Dawno nie pracowałem w temacie macierzy podobnych. Ale czy nie jest tak, że jeśli wartości własne oraz ich krotności są identyczne, to macierze będą podobne?
Tu pomyślałbym o diagonalizacji do tej samej macierzy. Bo diagonalizacja to nic innego jak podobieństwo do macierzy diagonalnej.
No i pomyślmy. Ta macierz diagonalna ma na przekątnej wektory własne. Więc jeśli dwie macierze mają identyczne wartości własne (i krotności) oraz wektory własne, to są podobne. Niech tą macierzą diagonalną będzie \(D\). Wtedy \(A=P^{-1}DP\) oraz \(B=Q^{-1}DQ\). Stąd chyba łatwo wyrachować podobieństwo macierzy \(A,B\). Mamy \(D=PAP^{-1}=QBQ^{-1}\), więc \[A=P^{-1}QBQ^{-1}P=(P^{-1}Q)B(P^{-1}Q)^{-1}.\]
Tu pomyślałbym o diagonalizacji do tej samej macierzy. Bo diagonalizacja to nic innego jak podobieństwo do macierzy diagonalnej.
No i pomyślmy. Ta macierz diagonalna ma na przekątnej wektory własne. Więc jeśli dwie macierze mają identyczne wartości własne (i krotności) oraz wektory własne, to są podobne. Niech tą macierzą diagonalną będzie \(D\). Wtedy \(A=P^{-1}DP\) oraz \(B=Q^{-1}DQ\). Stąd chyba łatwo wyrachować podobieństwo macierzy \(A,B\). Mamy \(D=PAP^{-1}=QBQ^{-1}\), więc \[A=P^{-1}QBQ^{-1}P=(P^{-1}Q)B(P^{-1}Q)^{-1}.\]
-
- Stały bywalec
- Posty: 251
- Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
- Podziękowania: 197 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Sprawdź czy macierze są podobne.
Z tego co mi wiadomo macierze mogą mieć identyczne wartości własne a wcale nie muszą być podobne
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy macierze są podobne.
Bo mogą mieć inne wektory własne. Zobacz powyżej - coś tam dopisałem.