Zbieżność szeregu

[enta]

Zbadać zbieżność szeregu\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2n-1} \)

[grdv10]

Szereg rozbieżny - kryterium porównawcze: Skoro \(2n-1\leqslant 2n\), to\[0\leqslant\frac{1}{2n}\leqslant\frac{1}{2n-1},\] a szereg\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\]jest rozbieżny (gdyby był zbieżny, to zbieżny byłby też szereg harmoniczny).

Można też skorzystać z kryterium ilorazowego biorąc\[a_n=\frac{1}{2n-1}\quad\text{oraz}\quad b_n=\frac{1}{n}.\]Mamy\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}>0,\] a szereg harmoniczny jest rozbieżny, to i wyjściowy szereg jest rozbieżny.

[enta]

Ok dzięki a mam pytanie jeżeli granica wychodzi >0 w kryterium ilorazowym to oznacza że szereg jest rozbieżny?

[grdv10]

Ok dzięki a mam pytanie jeżeli granica wychodzi >0 w kryterium ilorazowym to oznacza że szereg jest rozbieżny?

Nie. Oznacza, że albo oba szeregi są zbieżne, albo oba szeregi są rozbieżne. Dlatego porównujemy zawsze z szeregiem, o którym już wiemy skądś, że jest zbieżny (rozbieżny). Spróbuj np.\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3}{n^4+1}\]i porównaj z \(\frac{1}{n^2}\).