Potrzebuje pomocy w obliczeniu granicy

[TomaszSy]

Potrzebuje pomocy w obliczeniu granicy
\( \Lim_{h\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} } \)

i

\(\Lim_{h\to \infty } n^2( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } } - \sqrt{n^2-n} )\)

[panb]

Potrzebuje pomocy w obliczeniu granicy
\( \Lim_{h\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} } \)

Zauważ, że \(1-2+3-4+...+(2n-1)-2n=(1-2)+(3-4)+...+(2n-1-2n)=-1\cdot n\)
Więc teraz
\[\Lim_{n\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} }=\Lim_{n\to \infty } - \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} =\Lim_{n\to \infty } - \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{n^2} }}= -\frac{1}{1} =-1 \]

[Jerry]

\( \Lim_{h\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} } \)

\( \Lim_{h\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} } =\frac{(1-2)+(3-4)+(5-6)+ \ldots +(2n-1-2n)}{ \sqrt{n^2+1} }=\frac{n\cdot(-1)}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{-n}{\sqrt{n^2+1}} \)
A teraz na poważnie, chodziło Ci pewnie o
\( \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{1-2+3-4+5-6+ \ldots -2n}{ \sqrt{n^2+1} } =\Limn\frac{-n}{ \sqrt{n^2+1} }=\Limn{n\over n}\cdot{-1\over\sqrt{1+{1\over n^2}}}=-1 \)

Pozdrawiam
PS. W drugim też \(n\to\infty\) To doprowadzaj do niewymierności... dużo palcowania

[edited] tak długo pisałem ? Ale nie skasuję - panb nie zauważył "ciekawostki"

[panb]

Potrzebuje pomocy w obliczeniu granicy
\(\Lim_{h\to \infty } n^2( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } } - \sqrt{n^2-n} )\)

\( n^2( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } } - \sqrt{n^2-n} )=n^2 \cdot \frac{n^2- \sqrt[3]{n^3-\sqrt{n^2-1}}-n^2+n }{\sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } }+\sqrt{n^2-n}}=n^2 \cdot \frac{n- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } }{\sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } }+\sqrt{n^2-n}} =\\=n^2 \cdot \frac{n^3-n^3+\sqrt{n^2+1}}{\left( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } }+ \sqrt{n^2+1} \right) \left( n^2+n\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} }+ \sqrt[3]{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2} \right) } = \\=\frac{n^2\sqrt{n^2-1}}{\left( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } }+ \sqrt{n^2+1} \right) \left( n^2+n\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} }+ \sqrt[3]{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2} \right)} \left[: \frac{n^3}{n^3} \right] = \\=\frac{1 \cdot \sqrt{1+ \frac{1}{n^2} }}{ \left( \sqrt{1- \frac{\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1}}}{n^2} }+ \frac{\sqrt{n^2+1}}{n^2} \right) \left(1+ \frac{\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1}}}{n} + \frac{\sqrt[3]{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2}}{n^2} \right) } \)

• \( \Lim_{n\to \infty }\left( 1 \cdot \sqrt{1+ \frac{1}{n^2} } \right)=1\\
  \Lim_{n\to \infty } \frac{\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1}}}{n^2} = \Lim_{n\to \infty } \frac{\sqrt{n^2+1}}{n^2} =0\\
  \Lim_{n\to \infty } \frac{\sqrt[3]{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2}}{n^2}= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2}{n^6} }= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{\frac{n^6-2n^3\sqrt{n^2-1}+n^2-1}{n^6}} =1 \)

\[\Lim_{n\to \infty } n^2( \sqrt{n^2- \sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1} } } - \sqrt{n^2-n} )=\\= \Lim_{n\to \infty } \frac{1 \cdot \sqrt{1+ \frac{1}{n^2} }}{ \left( \sqrt{1- \frac{\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1}}}{n^2} }+ \frac{\sqrt{n^2+1}}{n^2} \right) \left(1+ \frac{\sqrt[3]{n^3- \sqrt{n^2-1}}}{n} + \frac{\sqrt[3]{(n^3- \sqrt{n^2-1})^2}}{n^2} \right) } = \frac{1 \cdot 1}{1(1+1)} = \frac{1}{2} \]

P.S. Współczuję przepisywania.

[panb]

[edited] tak długo pisałem ? Ale nie skasuję - panb nie zauważył "ciekawostki"

Zauważyłem, ale wiem, że n i h leżą blisko na klawiaturze i może palec się omsknąć.