W prostopadłościanie suma długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
wynosi 108 cm. Stosunek długości krawędzi podstawy tego prostopadłościanu jest równy 2:1.
Wyznacz długości krawędzi prostopadłościanu tak, aby jego objętość była największa.
Zadanie optymalizacyjne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Zadanie optymalizacyjne
Niech \(x,\ 2x,\ 108-3x\), dla \(x\in(0; 36)\), będą długościami krawędzi prostopadłościanu. Wtedy jego objętość określa funkcja:
\(y=f(x)=x\cdot2x\cdot(108-3x)=-6x^3+216x^2\wedge D=(0;36)\)
i dalej: pochodna, WKIE, WDIE, ...
albo:
Z nierówności pomiędzy średnimi, dla \(x\in(0;36)\), mamy:
\({x+x+(72-2x)\over3}\ge\sqrt[3]{x\cdot x\cdot(72-2x)}\) i równość zachodzi dla \(x=x=72-2x\)
\(24^3\ge-2x^3+71x^2\qquad|\cdot3\)
\( 41472\ge f(x)\) i równość zachodzi dla \(x=24\)
Pozdrawiam
\(y=f(x)=x\cdot2x\cdot(108-3x)=-6x^3+216x^2\wedge D=(0;36)\)
i dalej: pochodna, WKIE, WDIE, ...
albo:
Z nierówności pomiędzy średnimi, dla \(x\in(0;36)\), mamy:
\({x+x+(72-2x)\over3}\ge\sqrt[3]{x\cdot x\cdot(72-2x)}\) i równość zachodzi dla \(x=x=72-2x\)
\(24^3\ge-2x^3+71x^2\qquad|\cdot3\)
\( 41472\ge f(x)\) i równość zachodzi dla \(x=24\)
Pozdrawiam