Czy zbiór Q(√2) ={a+b√2 :a, b ∈ Q }definiuje grupę z działaniem + oraz·?

[mikmat]

Czy zbiór \( \qq(\sqrt2) =\{a+b\sqrt2 :a, b \in \qq \}\) definiuje grupę z działaniem \(+\) oraz \(\cdot\)?

[janusz55]

Zbiór \( Q(\sqrt{2}) \) definiuje grupę, a nawet ciało z działaniami \( (+ \ \ \cdot )\)

Proszę sprawdzić aksjomaty grupy:
- łączność,
- istnienie elementu neutralnego,
- istnienie elementu odwrotnego,
- przemienność (grupa abelowa)

[Młodociany całkowicz]

Niech \(a,b \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)
Wówczas isnieją takie \(x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{Q}\), że
\(x_1 + y_1 \sqrt{2} = a\)
\(x_ 2+ y_2 \sqrt{2} = b\)
Niewątpliwie działanie dodawania jest łączne.
\(a+b = (x_1+x_2) + (y_1+y_2)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)
dla \((x_1,y_1) = (0,0)\)
\(a = 0\)
Jest to element neutralny dodawania.
Jeśli \(x_2 = -x_1 \wedge y_2 = -y_1\), to \(b=-a\)
A zatem dla każdego elementu \(a\) znajdziemy \(-a\).
Zbiór jest więc grupą ze względu na dodawanie.

Dla \((x_1,y_1) = (0,0)\) element \(a\) nie ma elementu \(a^{-1}\), wobec czego zbiór ten nie jest grupą ze względu na mnożenie.

[Młodociany całkowicz]

Trzeba jeszcze wszak sprawdzić, czy wymienione działania są dobrze określone.

[janusz55]

Trochę się Pan zagalopował.

Należało tylko sprawdzić czy z jednym działaniem \( + \) zbiór \( Q(\sqrt{2}) \) jest grupą?

[Młodociany całkowicz]

Sprawdziłem oddzielnie dla każdego działania, czy z tym działaniem zbiór jest grupą.

[Młodociany całkowicz]

mikmat prosił o sprawdzenie tego dla obu działań.