Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f określonej wzorem

[TomaszSy]

Proszę o pomoc jeszcze tylko w tym zadania.

a) \(f(x)= tgx\)
b) \(f(x) =sinx\)

[Młodociany całkowicz]

\((\tan(\arctan(x)))' = \frac{d\tan(\arctan(x))}{d\arctan(x)}\frac{d\arctan(x)}{dx} = x' = 1\)
\(\frac{1}{\cos^2 \arctan x} \cdot \arctan'x = 1\)
Teraz zrobimy mały układ równań:
Niech \(k = \arctan x\)
\(\frac{\sin k}{\cos k} = x\)
\(\sin^2 k + \cos^2 k = 1\)
\(\sin k = x\cos k\)
\(\cos^2 k (x^2 + 1)=1\)
\(\cos ^2 k = \frac{1}{x^2 + 1}\)
Wracając do równania pochodnych mamy:
\((x^2+1)\arctan'x = 1\)
\(\arctan'x =\frac{1}{x^2 + 1} \)

[kerajs]

Ciut inaczej
a)
\(x=\arctg y\\
(\arctg y)'_y= \frac{dx}{dy}= \frac{1}{ \frac{dy}{dx}}= \frac{1}{(\tg x)'_x}= \frac{1}{ \frac{1}{\cos^2x} } =\\=\frac{1}{ \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x} }=\frac{1}{ 1+\tg^2x }= \frac{1}{1+y^2} \)

[Młodociany całkowicz]

\((\sin (\arcsin x))' = \frac{d\sin(\arcsin x)}{d\arcsin x} \arcsin'x = x' = 1\)
\(\cos \arcsin x\cdot \arcsin' x = 1\)
\(\sqrt{1-x^2}\cdot \arcsin' x = 1\)
\(\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

[eresh]

Proszę o pomoc jeszcze tylko w tym zadania.

b) \(f(x) =sinx\)

\(x=\arcsin y\\
(\arcsin y)'=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)

[janusz55]

[ciach]
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Załóżmy, że:

- funkcja \( f \) jest różniczkowalna w punkcie \( p;\)

- \( f'(p) \neq 0; \);

- funkcja \( f \) ma funkcję odwrotną;

- funkcja \( f^{-1}\) odwrotna do \( f \) jest ciągła w punkcie \( q = f(p).\)

Wtedy funkcja \( f^{-1} \) jest różniczkowalna w punkcie \( q \) i zachodzi wzór

\( (f^{-1})' (q) = \frac{1}{f'(p)} \)

b)
Funkcją odwrotną do funkcji sinus ograniczonej do przedziału \( \left [-\frac{\pi}{2}, \ \ \frac{\pi}{2} \right] \) jest funkcja arcsinus.

Funkcja arcsinus jest ciągła i przekształca przedział \( [-1, 1] \) na przedział \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right].\)

Na przedziale \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\) funkcja kosinus przyjmuje nieujemne wartości.

Stąd wynika, że jeśli \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \), to \( \cos(y) = \sqrt{1 -\sin^2 (y)} \)

Ponieważ pochodna funkcji sinus jest różna od zera w punktach przedziału otwartego \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), więc funkcja arcsinus jest różniczkowalna w punktach przedziału otwartego \( (-1, 1) \)

Mamy więc

\(1 = x' = (\sin[\arcsin(x)])' = \cos(\arcsin(x))\cdot (\arcsin(x))' = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin(x))}\cdot (\arcsin(x))' = \)

\(= \sqrt{1-x^2}\cdot (\arcsin(x))' \)

Stąd

\( (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}.\)