Liczby zespolone - potegowanie.

[magda1221]

Witajcie,
Mam problem z pewnym potegowaniem...
\(\frac{(- \sqrt{3} - i)^{12}}{(1+ \sqrt{3}i)^4 }(1-i)^{10}\)
Ma to isc droga zamiany na postac trygonometryczna i korzystanie ze wzoru Moivre'a.. Generalnie wynik dostaje podobny, ale wiadomo, w matmie wynik podobny to zaden wynik. W jednym miejscu musze robic blad i go nie zauwazam.
Moglby ktos to rozwiazac tutaj? Porownam sobie i moze znajde.. Bede wdzieczna.

[kerajs]

\(\frac{(- \sqrt{3} - i)^{12}}{(1+ \sqrt{3}i)^4 }(1-i)^{10}= \frac{(2e^{i \frac{7\pi}{6} })^{12}}{(2e^{i \frac{\pi}{3} })^4}( \sqrt{2}e^{i \frac{-\pi}{4} } )^{10}= \frac{2^{12}e^{i 14\pi }}{2^4e^{i \frac{4\pi}{3} }}( 2^5e^{i \frac{-5\pi}{2} }) =2^{13}e^{i\frac{-11\pi}{6} }=2^{13}e^{i\frac{\pi}{6} }\)

[magda1221]

Jestem wdzieczna za fatyge, ale nadal chcialabym, zeby ktos to zrobil tak jak stereotypowo robi sie to w 1 semestrze studiow.. ;x

[kerajs]

Liczbę zespoloną można przedstawić e postaci ogólnej, trygonometrycznej lub wykładniczej:
\(z=a+ib= |z|( \cos \alpha +i \sin \alpha )=|z|e^{i \alpha }\)
Jak widać łatwo między ostatnimi przechodzić.

\(\frac{(- \sqrt{3} - i)^{12}}{(1+ \sqrt{3}i)^4 }(1-i)^{10}= \frac{(2(\cos \frac{7\pi}{6} +i \sin\frac{7\pi}{6}))^{12}}{(2(\cos \frac{\pi}{3} +i \sin\frac{\pi}{3}))^4}( \sqrt{2}(\cos \frac{-\pi}{4} +i \sin\frac{-\pi}{4}) )^{10}=\\=\frac{2^{12}(\cos 14\pi +i \sin 14\pi)}{2^4(\cos \frac{4\pi}{3} +i \sin\frac{4\pi}{3})}( (\sqrt{2})^{10}(\cos \frac{-5\pi}{2} +i \sin\frac{-5\pi}{2}) )=2^{13}(\cos \frac{\pi}{6} +i \sin\frac{\pi}{6})\)

[magda1221]

Bardzo dziekuje =)
Ale mam jeszcze pytanko, dlaczego z \((1 - i)^10\) wyszlo Ci: \(\sqrt{2}(cos \frac{ \pi }{4} ....\)?

Mi wychodzi tak, ze licze modul, ktory rowna sie tak jak u Ciebie \(\sqrt{2}\), to daje nam:
cos\(\alpha\) = \(\frac{ \sqrt{2} }{2}\)
sin \(\alpha\) = \(\frac{- \sqrt{2} }{2}\) To daje nam 4 cwiartke czyli do wzoru wstawiamy \(\alpha = 2 \pi - \frac{ \pi }{4}\) = \(1 \frac{3}{4} \pi\).. Gubie sie w tym wszystkim ;x

[magda1221]

Moze mi ktos ten przyklad rozwiazac? \((1 - i)^{10}\)? Chodzi o zamiane tego do postaci z=\(|z|^{10}( \cos(10* \alpha ) + i\sin(10* \alpha ))\) I nastepnie zamienic to ponownie do postaci kartezjanskiej?

[radagast]

\((1 - i)^{10}= \sqrt{2} ^{10}\left( \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{ \sqrt{2} }\right)^{10}=32 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) +i\sin \left( -\frac{\pi}{4}\right) \right)^{10}=32 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) +i\sin \left( -\frac{\pi}{4}\right) \right)^{10}=\\
32 \left(\cos \left(-\frac{10\pi}{4} \right) +i\sin \left( -\frac{10\pi}{4}\right) \right)=32 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{2} \right) +i\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right) \right)=32(0-i)=-32i\)

[magda1221]

Tyle zamieszania zrobilam, zeby na koncu dowiedziec sie, ze wszystko to mi dobrze wyszlo tylko sprzezenie na koncu ze zlymi znakami zapisalam.. Dziekuje wszystkim =)