Obliczyć optymalną wartość, pochodna.

[chudek]

Witam!
Chcąc wyrazić(aproksymować) sygnał opisany modelem w postaci funkcji \(f(t)\) za pomocą wybranej funkcji \(f _{1}(t)\) w skończonym przedziale czasu \((0,T)\) w postaci:
\(f(t)=c _{1}f _{1}(t)+e(t)\)
należy najpierw wybrać kryterium średniokwadratowe służące do oceny jakości tego przybliżenia(przy rozkładaniu sygnału okresowego na szereg Fouriera), które jest wyliczane ze wzoru:

\(Q= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^2(t)dt\)

i również:

\(Q=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt\) (oznaczenie numer 1)
W wyniku minimalizacji tego (1)kryterium otrzymuje się zależność na optymalną wartość współczynnika rozkładu funkcji \(f(t)\) na składową \(f _{1}(t)\):

\(c _{1}= \frac{ \int_{0}^{T}f(t)f _{1}(t)dt }{\int_{0}^{T}f_{1}(t)f _{1}(t)dt}\).

To jest teoria, którą chciałbym zrozumieć. Wiem, że aby dojść od kryterium(1) do zależności na \(c _{1}\) należy przyrównać pochodną \(\frac{dQ}{dc _{1}}\) do 0.

Zatrzymuję się na samym poczatku, gdyż nie wiem, co dalej z tym zrobić:

\(0= \frac{d(\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt)}{dc _{1}}\)

[Przemo10]

Prxed różniczkowaniem uprość wyrażenie \(Q\):

\(Q=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}(f(t)-c _{1}f _{1}(t))^2dt= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^2(t)dt- \frac{2c_1}{T}\int_{0}^{T}f(t)f_1(t)dt+ \frac{c_1^2}{T}\int_{0}^{T}f_1(t) \cdot f_1(t)dt\)

Teraz policz \(\frac{\partial Q}{\partial c_1}\), tzn pochodną funkcji \(Q\) po zmiennej \(c_1\). Zauważ, że całki "są funkcjami stałymi", gdyż nie zależą od zmiennej \(c_1\)

[octahedron]

\(0= \frac{d}{dc_1}\left(\frac{1}{T}\int\limits_0^T\left(f(t)-c_1f_1(t)\right)^2\,dt\right)=\frac{1}{T}\int\limits_0^T\frac{d}{dc_1}(f(t)-c_1f_1(t))^2\,dt=\frac{2}{T}\int\limits_0^Tf_1(t)(c_1f_1(t)-f(t))\,dt\\\)

[chudek]

Dziękuje za pomoc