funkcje f i g

[lemon1617]

Funkcje f i g określone sa wzorami f(x)=|x-1|-2 i g(x)=2mx. Wyznacz wartość parametru m, dla którego pole obszaru ograniczonegowykresami tych funkcji jest najmniejsze.

[panb]

Po pierwsze, trzeba określić dla jakich m, funkcja g ma dwa punkty wspólne z funkcją f.
1. \(x\ge 1: x-1-2=2mx \So x= \frac{3}{1-2m} ,\,\,\, \frac{3}{1-2m}\ge1 \iff m\in <-1; \frac{1}{2})\)
2. \(x<1: -x+1-2=2mx \iff x=\frac{-1}{2m+1},\,\,\, \frac{-1}{2m+1}<1 \iff m \in (- \infty ;-1) \cup (- \frac{1}{2};+ \infty )\)

Aby funkcja g przecinała wykres funkcji f w dwóch punktach musi być spełniony warunek: \(m\in \left( -\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)\).
Wtedy \(x_1=\frac{3}{1-2m}, \,\,\, x_2=\frac{-1}{2m+1}\).

Trójkąt, który wtedy powstaje jest trójkątem prostokątnym i jego pole jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych.
\(x=\frac{3}{1-2m} \So y=2m\cdot \frac{3}{1-2m}=\frac{6m}{1-2m}\). Punkt A=\(\left( \frac{3}{1-2m}; \frac{6m}{1-2m}\right)\)
\(x=\frac{-1}{2m+1} \So y=2m\cdot \left(\frac{-1}{2m+1} \right)=\frac{-2m}{2m+1}\). Punkt B=\(\left(\frac{-1}{2m+1};\frac{-2m}{2m+1} \right)\)
Wierzchołek przy kącie prostym C=(1,-2), natomiast pole \(P= \frac{1}{2}|AC|\cdot|BC|\).
Dalej musisz samodzielnie, bo mi się ręka zmęczyła. Aha, sprawdź też, czy gdzieś się nie pomyliłem.

[octahedron]

Chyba \(x_1=\frac{3}{1-2m}\)