Oblicz całkę

[novicjusz]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

∫\(\frac{(sin2x+x)dx}{2+3x+7x^2}\)

[panb]

Tu NA PEWNO się nie pomyliłeś? Ta całka nie wygląda na elementarną (sinus i wielomiany).

[novicjusz]

nie pomyliłem, takie zadanie miałem na egzaminie zerowym

[novicjusz]

czy jest ktoś w stanie to rozwiązać? szczerze mówiąc to w tym wypadku nawet nie wiem od czego zacząć

[lambda]

\(\int_{}^{} \frac{sin2x+x}{2+3x+7x^2}dx=(sin2x+x) \cdot \frac{2}{ \sqrt{47} }arctg \frac{14x+3}{ \sqrt{47} }- \frac{2cos2x+1}{2+3x+7x^2} -4 \int_{}^{} \frac{sin2x+x}{2+3x+7x^2}dx +4 \int_{}^{} \frac{x}{2+3x+7x^2}dx\)

[novicjusz]

wielkie dzięki !

-rozumiem, że na tym zadanie się kończy?

[lambda]

Żeby dojść do powyższego zapisu trzeba liczyć dwa razy przez części...a końcowy wynik to:

\(\int_{}^{} \frac{sin2x+x}{2+3x+7x^2}dx= \frac{1}{5} ((sin2x+x) \cdot \frac{2}{ \sqrt{47} } arctg \frac{14x+3}{ \sqrt{47} } - \frac{2cos2x+1}{2+3x+7x^2} + \frac{2}{7}ln|2+3x+7x^2|- \frac{12}{7 \sqrt{47} }arctg \frac{14x+3}{ \sqrt{47} } )+C\)

[Robakks]

Niestety lambda pomyliłaś się przy całkowaniu przez części

Moja propozycja :

Rozdzielić część wymierną funkcji podcałkowej od tej części z sinusem
Całkę z funkcji wymiernej policzymy dość łatwo
Zamieniamy sinusa na exponentę a czynnik wymierny rozkładamy na sumę zespolonych ułamków prostych
Na pierwszy rzut oka może pojawić się funkcja wykładniczo-całkowa

\(\int{\frac{(sin2x+x)dx}{2+3x+7x^2}\mbox{d}x}=\\
\int{\frac{\sin{2x}}{2+3x+7x^2}\mbox{d}x}+\int{\frac{x}{2+3x+7x^2}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}\cdot\frac{1}{2+3x+7x^2}\mbox{d}x}\\
-\frac{1}{2\sqrt{47}}\int{\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)\frac{\left(x+\frac{3+\sqrt{47}i}{14}\right)-\left(x+\frac{3-\sqrt{47}i}{14}\right)}{\left(x+\frac{3+\sqrt{47}i}{14}\right)\left(x+\frac{3-\sqrt{47}i}{14}\right)}\mbox{d}x}\\
-\frac{1}{2\sqrt{47}}\int{\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)\left(\frac{1}{x+\frac{3-\sqrt{47}i}{14}}-\frac{1}{x+\frac{3+\sqrt{47}i}{14}}\right)\mbox{d}x}\\
\frac{1}{2\sqrt{47}}\int{\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)\left(\frac{1}{x+\frac{3+\sqrt{47}i}{14}}-\frac{1}{x+\frac{3-\sqrt{47}i}{14}}\right)\mbox{d}x}\\\)

Tutaj trzeba jeszcze to wymnożyć skorzystać z liniowości ,zastosować odpowiednie podstawienia aby dostać pochodne
funkcji \(\mathrm{Ei}\) pomnożonej przez stałą ,
Całkę z funkcji wymiernej policzymy dość łatwo