całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
\(\int\frac{dx}{(x^2+3x+9)^2}=\int\frac{dx}{((x+\frac{3}{2})^2+\frac{27}{4})^2}= \left[ x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}t\;\;\;\So\;\;dx=\frac{3\sqrt{3}}{2}dt\right]=\\
=\int\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}dt}{(\frac{27}{4}t^2+\frac{27}{4})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{16}{729}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\frac{8\sqrt{3}}{243}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=I\)
\(\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\int\frac{t^2+1-t^2}{(t^2+1)^2}dt=\int\frac{dt}{t^2+1}-\int\frac{t^2dt}{(t^2+1)^2}=\arctg t-\int\frac{t^2dt}{(t^2+1)^2}= \begin{bmatrix} u(t)=t&u'(t)=1\\v'(t)=\frac{t}{(t^2+1)}&v(t)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^2+1}\end{bmatrix}=\\
=\arctg t+\frac{t}{2(t^2+1)}-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\arctg t+\frac{t}{2(t^2+1)}\)
\(I=\frac{8\sqrt{3}}{243}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\frac{4\sqrt{3}}{243} \left(\arctg t+\frac{t}{t^2+1} \right)= \left[x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}t\;\;\;\So\;\;\;t=\frac{2x+3}{3\sqrt{3}} \right]=\\=\frac{4\sqrt{3}}{243} \left(\arctg (\frac{2x+3}{3\sqrt{3}})+\frac{\frac{2x+3}{3\sqrt{3}}}{(\frac{2x+3}{3\sqrt{3}})^2+1} \right)\)
=\int\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}dt}{(\frac{27}{4}t^2+\frac{27}{4})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{16}{729}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\frac{8\sqrt{3}}{243}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=I\)
\(\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\int\frac{t^2+1-t^2}{(t^2+1)^2}dt=\int\frac{dt}{t^2+1}-\int\frac{t^2dt}{(t^2+1)^2}=\arctg t-\int\frac{t^2dt}{(t^2+1)^2}= \begin{bmatrix} u(t)=t&u'(t)=1\\v'(t)=\frac{t}{(t^2+1)}&v(t)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^2+1}\end{bmatrix}=\\
=\arctg t+\frac{t}{2(t^2+1)}-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\arctg t+\frac{t}{2(t^2+1)}\)
\(I=\frac{8\sqrt{3}}{243}\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\frac{4\sqrt{3}}{243} \left(\arctg t+\frac{t}{t^2+1} \right)= \left[x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}t\;\;\;\So\;\;\;t=\frac{2x+3}{3\sqrt{3}} \right]=\\=\frac{4\sqrt{3}}{243} \left(\arctg (\frac{2x+3}{3\sqrt{3}})+\frac{\frac{2x+3}{3\sqrt{3}}}{(\frac{2x+3}{3\sqrt{3}})^2+1} \right)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
