Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny utworzony przez środki cię

[karolakkkk]

Z wierzchołka \(O\)paraboli \(y^2=2x\) poprowadzono dwie proste wzajemnie prostopadłe i przecinające parabolę w punktach \(P\) i \(Q\). Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny utworzony przez środki ciężkości trójkątów \(OPQ\).

[kacper218]

To zadanie za trudne jako maturalne, ale jak bardzo chcesz, to je rozwiążę

[Panko]

Niech \(P=(x_1,y_1)\) , tez \(y_1^2=2x_1\)
Niech \(Q=(x_2,y_2)\) , tez \(y_2^2=2x_2\)
Wierzchołek trzeci to \(O=(0,0)\)
Wtedy współrzędne środka ciężkości \(\Delta POQ\) ; \((x_s,y_s)=( \frac{x_1+y_1+0}{3} ,\frac{y_1+y_2+0}{3} )\)
Stąd \(3x_s= x_1+x_2\) , \(3y_s=y_1+y_2\)

Prosta \(OP\) to \(y=\frac{y_1}{x_1} \cdot x\)
Prosta \(OQ\) to \(y=\frac{y_2}{x_2} \cdot x\)
Sa prostopadłe czyli : \(\frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_2}{x_2}=-1\) \(\\) czyli\(\\) \(y_1 \cdot y_2=-x_1 \cdot x_2\)

Ponieważ \(y_1^2=2x_1 , y_2^2=2x_2\) to \(( y_1 \cdot y_2)^2=4x_1 \cdot x_2\) i \(\\) \(y_1 \cdot y_2=-x_1 \cdot x_2\) stąd \(\\) \((y_1y_2)^2=-4y_1y_2\) a stąd \(\\) \(y_1y_2=-4\)

Teraz dodaję obustronnie równania \(y_1^2=2x_1 , y_2^2=2x_2\)
Jest \(2( x_1+x_2)= y_1^2+y_2^2\) i dalej
\(2 \cdot 3x_s= ( y_1+y_2)^2 -2y_1y_2= ( 3y_s)^2- 2 \cdot (-4)\) i TO JEST SZUKANE RÓWNANIE
Krótko \(9y_s^2=6x_s+8\) lub najprościej \(9y^2=6x+8\) , też parabola .