wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

[weebim]

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych a i b, dla których a^2-b^2=36

Czy są jakieś alternatywne, krótsze metody niż ta którą ja rozwiązałem? Zrobiłem to tak:
\(a^2 -b^2=36\), \(a,b \in N\)
\((a-b)(a+b)=36\), \(\begin{cases}a \neq b\\a \neq -b \end{cases}\)


\(\begin{cases}a-b=1\\ a+b=36\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases} a-b=2\\a+b=18\end{cases}\)
itd. rozwiązując układy i sprawdzając zgodność rozwiązań z założeniami.

[kukise]

Alternatywy na pewno są Czy krótsze? No nie wiem - ten przypadek moim zdaniem jest krótki:

\(\begin{cases}a-b=1\\ a+b=36\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases} a-b=2\\a+b=18\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases}a-b=3\\ a+b=12\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases} a-b=4\\a+b=9\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases} a-b=6\\a+b=6\end{cases}\)

i tylko to, bo \(\forall a,b \in \nn :a+b \ge a-b\)

Suma liczb w układzie musi być parzysta.

Czyli zostaje tylko drugi i piąty układ...

[Seeba]

Dlaczego suma liczb musi być parzysta? I dlaczego zostają poprawne tylko 2. i 5. układ?

[Panko]

Naprawa .
\((a-b)(a+b)=q \cdot p\) , gdzie \(p \cdot q=36\) na ten przykład.
Rozwiązując układ równań \(\begin{cases}a-b=p\\ a+b=q \end{cases}\) jest \(a=\frac{p+q}{2}\) \(\\)\(b=\frac{q-p}{2}\)
Teraz widać ,że na to by \(a,b \in N\) to konieczne jest aby , \(p,q\) były jednakowej parzystości czyli obie jednocześnie parzyste lub nieparzyste.

[Seeba]

A co z \(1 \cdot 36\)? Ich iloczyn jest parzysty a one nie są jednocześnie parzyste.

[kukise]

A co z \(1 \cdot 36\)? Ich iloczyn jest parzysty a one nie są jednocześnie parzyste.

a i b muszą być naturalne. A rozwiązując ten układ - nie są. Tak jak napisał Panko.