Zadanie 1. Podaj definicję pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych. Na podstawie definicji oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
\(f(x,y)= \begin{cases} \frac{y^3-x^3}{x^2+2y^2}\ \ dla \ \ (x,y) \neq (0,0)\\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \(x,y)=(0,0) \end{cases}\)
w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\)
Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce
Pochodne cząstkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Pochodne cząstkowe
Jeśli \(U \subset_{_}\mathbb{R}^n\) oraz \(f: U \to \mathbb{R}\) oraz \(x \in U\) (U to zbiór otowarty)
to granicę o ile istnieje :
\(\frac{ \partial f}{ \partial x_j}(x)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+te_j)-f(x)}{t}\)
nazywamy pochodną cząstkową po j-tej wspołrzednej,
uwaga: symbol \(x=(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)\) oraz \(e_j=(0,0,0,...,1,...,0,0,0)\) oznacza wektor bazy standardowej (1 jest na j-tym miejscu)
no to liczymy:
\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{-t^3}{t^2}-0}{t} =-1\)
oraz
\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{t^3}{2t^2}-0}{t} =\frac{1}{2}\)
to granicę o ile istnieje :
\(\frac{ \partial f}{ \partial x_j}(x)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+te_j)-f(x)}{t}\)
nazywamy pochodną cząstkową po j-tej wspołrzednej,
uwaga: symbol \(x=(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)\) oraz \(e_j=(0,0,0,...,1,...,0,0,0)\) oznacza wektor bazy standardowej (1 jest na j-tym miejscu)
no to liczymy:
\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{-t^3}{t^2}-0}{t} =-1\)
oraz
\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{t^3}{2t^2}-0}{t} =\frac{1}{2}\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć: