oblicz kąt między wektorami

[gaskaaa]

Oblicz kąt między wektorami a i b , jeśli wiadomo, że wektory u=-a+4b i v=3a+2b są prostopadłe oraz |a|=|b|=1

[lhx]

Z faktu, że \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\) wynika, że wektory współrzędne tych wektorów możemy opisać sinusem i cosinusem jakiegoś kąta.

\(\vec{a}=[a_1, a_2], \vec{b}=[b_1, b_2]
|\vec{a}|=|\vec{b}|=1 \Leftrightarrow a_1^2 + a_2^2 = b_1^2 + b_2^2 = 1

\vec{a} = [\sin \alpha, \cos \alpha]
\vec{b} = [\sin \beta, \cos \beta]\)

Zapisując wektory w ten sposób kąt między nimi to \(|\alpha-\beta|\).

\(\vec{u}=-\vec{a}+4\vec{b} = [-\sin \alpha+4\sin \beta, -\cos \alpha+4\cos \beta]
\vec{v}=3\vec{a}+2\vec{b}= [3\sin \alpha+2\sin \beta, 3\cos \alpha+2\cos \beta]\)

Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe, więc ich iloczyn skalarny jest równy zero.

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow\)

\([-\sin \alpha+4\sin \beta, -\cos \alpha+4\cos \beta] \cdot [3\sin \alpha+2\sin \beta, 3\cos \alpha+2\cos \beta] = 0\Leftrightarrow\)

\((-\sin \alpha+4\sin \beta)(3\sin \alpha+2\sin \beta)+(-\cos \alpha+4\cos \beta)(3\cos \alpha+2\cos \beta) \Leftrightarrow
10\sin \alpha \cos \beta + 10 \cos \alpha \cos \beta + 5 \Leftrightarrow
10\cos(\alpha-\beta)=-5 \Leftrightarrow
\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}\)

Funkcja f(x)=cos(x) jest parzysta, więc:
\(\cos(\alpha-\beta) = \cos|\alpha-\beta|

\cos|\alpha-\beta|=-\frac{1}{2}

|\alpha-\beta| = \frac{2 pi}{3}
\vee
|\alpha-\beta| = \frac{4 pi}{3}\)

[jola]

\(\vec{u} \perp \vec{v}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \vec{u} \circ \vec{v}=0\)

\(-3a^2-2\vec{a} \circ \vec{b} +12\vec{a} \circ \vec{b} +8b^2=0\)

\(10\cdot1\cdot1\cdot\cos \angle (\vec{a},\ve{b})=3\cdot1-8\cdot1\)

\(\cos \angle (\vec{a},\vec{b})=-\frac{1}{2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ |\angle (\vec{a},\vec{b})|=120^\circ\)