Pole czworokąta wypukłego

[Rafał28]

W czworokącie wypukłym przekątne o długościach \(d_1\) i \(d_2\) przecinają się pod kątem o mierze \(\alpha\). Wówczas pole tego czworokąta:

a) może być dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą;
b) musi być większe niż \(\frac{1}{2}d_1d_2\);
c) jest równe \(\frac{1}{4}d_1d_2\), jeśli \(\alpha = \frac{ \pi }{4}\)

\(\rule[0.5cm]{\textwidth}{0.5pt}\)

Jest to test, gdzie trzeba wskazać czy zdania a), b), c) są prawdziwe lub fałszywe.

Odpowiedzi autora:
a) Nie
b) Tak
c) Nie

Jak uzasadnić, że pole takiego czworkąta \(P= \frac{1}{2}d_1d_2sin \alpha\) nie jest dowolną liczbą dodatnią?

[kacper218]

problem tkwi w tym że nie można skonstruować odcinka o dowolnej długości (problem z niektórymi liczbami)

[Rafał28]

Owszem problem z konstrukcją jest, ale to znaczy, że taki odcinek nie istnieje? Według mnie błąd książki w przypadku a).

[patryk00714]

wg mnie może być tak, bo ten kąt jest uzalezniony od przekątnych i wtedy nie uzyskamy niektórych wartości.

[Rafał28]

Jakich wartości?

Załóżmy, że \(P = \pi ^{ \pi } = \frac{1}{2} d_1d_2sin \alpha\)

\(2 \pi ^{ \pi } = d_1d_2sin \alpha\)

Niech \(d_1 = 5\), \(sin \alpha = \frac{1}{2}\)

Wtedy \(d_2 = \frac{4}{5} \pi ^{ \pi }\)

Według mnie dla każdego \(P>0\) możemy dobrać \(d_1, d_2, sin \alpha\)

[kacper218]

Odcinka o długości \(\pi\) nie skonstruujesz. Zapewne o to chodziło autorowi zadania.

[Rafał28]

Niewykluczone, ze wtedy autor miał to na myśli kiedy układał odpowiedź do tego zadania, ale zgodnie z definicją pole to miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar. (wikipedia)

Pytanie, czy pole figury może wyrażać się liczbą niewymierną?

[kacper218]

Na twoje pytanie odpowiedź jest twierdząca. Myślę, że trzeba zapytać nauczyciela polskiego co autor miał na myśli

[Rafał28]

Byle nie mojego bo jak mnie widzi to go krew zalewa.

Do rzeczy. Nadal nie wiem czy pole jakiejkolwiek figury, płaskiej, przestrzennej może być liczbą niewymierną. Ja jestem przekonany o tym, że pole może być dowolną liczbą dodatnią. Są tutaj tacy co twierdzą, że tak być nie może bo nie da się skonstruować tam jakiegoś odcinka o danej długości.

To jak w końcu jest?

[ef39]

według mnie zła jest też odpowiedź b), przecież

\(P=\frac{1}{2}d_1d_2sin \alpha \le \frac{1}{2}d_1d_2\)

może po prostu pomylono kolejność odpowiedzi

[Rafał28]

W Przypadku b) moja pomyłka w przepisywaniu. Powinno być:

b) musi być nie większe niż...

Pozdrawiam

[kacper218]

Pole figury może być liczbą niewymierną.

Jeśli autorowi chodzi o konstrukcje, to odpowiedź jest poprawna - jeśli o sam fakt istnienia takiej figury to odpowiedź przez niego podana jest błędna.
Może niezbyt naukowy język, ale mam nadzieję że zrozumiałeś

[anka]

Jakich wartości?

Załóżmy, że \(P = \pi ^{ \pi }\)

Według mnie ten zapis nie ma sensu.

Jednostką pola są jednostki kwadratowe.
Jaka byłaby jednostka \(\pi ^{ \pi }\)?

A pole figury może być liczbą niewymierną.
Przykładowo pole rombu o przekątnych \(1\) i \(\sqrt{2}\)