Jak obliczyć takie całki ?

[mcmcjj]

Męczę się z pierwszą. Podstawiłem sobie:

\(x=-st\)
\(\frac{dx}{dt}= -\frac{st^{2}}{2}\)

Ale chyba to nie jest dobrze, bo mi cuda wychodzą...

Druga:

\(\int t \cdot e^{-i\omega t}=\int t\left( \cos\omega t-i\sin\omega t\right) \,dt= \int t \cdot \cos\omega t \ dt -\int t \cdot i\sin\omega t \ dt= \frac{1}{2}t^{2}[\sin\omega t-i\cos\omega t]\)

Nie wiem czy dobrze...

[octahedron]

Pierwszej całki nigdzie nie widzę. A druga:

\(\int t\cos\omega t\,dt=\frac{1}{\omega}\int t(\sin\omega t)'\,dt=\frac{t\sin\omega t}{\omega}-\frac{1}{\omega}\int\sin\omega t\,dt=\frac{t\sin\omega t}{\omega}+\frac{\cos\omega t}{\omega^2}
\int it\sin\omega t\,dt=-\frac{i}{\omega}\int t(\cos\omega t)'\,dt=-\frac{it\cos\omega t}{\omega}+\frac{i}{\omega}\int\cos\omega t\,dt=-\frac{it\cos\omega t}{\omega}+\frac{i\sin\omega t}{\omega^2}
\int t \cdot \cos\omega t \ dt -\int t \cdot i\sin\omega t \ dt=\frac{t\sin\omega t+it\cos\omega t}{\omega}+\frac{\cos\omega t-i\sin\omega t}{\omega^2}=\(\frac{1}{\omega^2}+\frac{t}{\omega}i\)e^{-i\omega t}\)

albo od razu:

\(\int t \cdot e^{-i\omega t}\,dt=-\frac{1}{i\omega}\int t\(e^{-i\omega t}\)'\,dt=-\frac{te^{-i\omega t}}{i\omega}+\frac{1}{i\omega}\int e^{-i\omega t}\,dt=-\frac{te^{-i\omega t}}{i\omega}-\frac{e^{-i\omega t}}{(i\omega)^2}=
=\(\frac{1}{\omega^2}+\frac{t}{\omega}i\)e^{-i\omega t}\)

[mcmcjj]

Pierwsza

\(\int e^{-st}dt\)

[Galen]

\(\int_{}^{} e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}\)

[eresh]

\(\int e^{-st}\mbox{d}t=\[-st=x\; \Rightarrow \;\mbox{d}t=-\frac{\mbox{d}x}{s}\]=-\frac{1}{s}\int e^x\mbox{d}x=-\frac{1}{s}e^x+C=\(x=-st\)=-\frac{1}{s}e^{-st}+C\)