ekstrema funkcji

[kis_s]

Witam,
Mam za zadanie znaleźć ekstrema funkcji a ja kompletnie tego nie ogarniam bo mam tak świetnego gościa od ćwiczeń..
\(f(x,y)=3x^{3}+5x^{2}+(x+1)y^{2}\)
Doszedłem do moment
\(f'_{x}(x,y)=9x^{2}+10x+y^{2}=0\)
\(f'_{y}(x,y)=(x+1)2y=0\)
i z tego wychodzą mi takie punkty

\(\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}\)


pozniej liczę drugą pochodną :

\(f''xx(x,y)=18x+10\)
\(f''yy(x,y)=2x+2\)
\(f''x,y(x,y)=2y\)

dalej wiem że trzeba jakoś policzyć wyznacznik ale co do czego to już nie wiem.. może ktoś pomóc ?

[lukasz8719]

To liczymy wyznacznik

\(\Delta = \begin{vmatrix} f_{xx}^{''} \ \ f_{xy}^{''} \\ f_{yx}^{''} \ \ f_{yy}^{''}\end{vmatrix}\)


\(f^{''}_{xx}(-1,1)=-8
f^{''}_{yy}(-1,1)=0
f^{''}_{xy}(-1,1)=2

\Delta =-4\)
Czyli brak ekstremum
Dla (1,1)
\(f^{''}_{xx}(1,1)=28
f^{''}_{yy}(1,1)=4
f^{''}_{xy}(1,1)=2

\Delta >0\)
więc ekstremum jest

\(f^{''}_{xx}(1,1)=28>0
f^{''}_{yy}(1,1)=4>0\)

mamy minimum lokalne w (1,1)

[kis_s]

czyli brak max lokalne a min lokalne to jest w punkcie (1,1). Mam tylko jedno pytanie bo jest taka stronka która takie rzeczy liczy tylko od razu wyniki podaje i tam wszyło że max lokalne \(( -\frac{10}{9},0)\) a min lokalne w punkcie \((0,0)\). http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... %2B1%29y^2

PS. Przepraszam że tak zrzędzenie ale bardzo mi zależy żeby to dobrze zrobić bo od tego poniekąd zależy czy zaliczę przedmiot.

[Matematyk_64]

Problem tkwi w niepełnym rozwiązaniu układu równań, od razu jest widoczne, że (0,0) musi być jego rozwiązaniem.
Lukasz8719 dodatkowo policzył hesjan dla (1,1), a ten punkt nie jest rozwiązaniem układu.

[kis_s]

Nie rozumiem czemu rozwiązanie jest nie pełne liczę drugi raz i tak samo mi wychodzi oraz fakt dlaczego Lukasz81719 obliczył dla punktu (1,1) wgl skąd taki punkt.

[Matematyk_64]

Wstaw za x=0 i y=0 do obu równań i stwierdzisz, że układ jest spełniony, czyli rozwiązania (0,0) brakowało podobnie jest z tym drugim nieobecnym punktem. Napisz może jak rozwiązujesz ten układ.

[kis_s]

tak to ja rozwiązuje

\(9x^{2}+10x+y^{2}=0\)
\(2xy +2y=0 => x= -1\)

\(y^{2}=1\)
\(y=1\) v \(y= -1\)

To co zawsze się sprawdza czy pkt ( 0,0 ) należy do wykres ?

[Matematyk_64]

\(2xy + 2y = 0\)
\(2y(x+1) = 0\), a stąd x=-1 lub y=0

[kis_s]

a więc takie pary rozwiązać otrzymujemy tak ?

\(\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases} x=-\frac{10}{9} \\ y=0 \end{cases}\)

[Matematyk_64]

Dokładnie

[kis_s]

i teraz każdy z tych pkt sprawdzam czy wyznacnizk bd wiekszy czy mniejszy od zera tak ?

[Matematyk_64]

dalej dokładnie tak jak pokazał lukasz8719 dla każdego z tych punktów osobno. Drugie pochodne są dobrze policzone.

[kis_s]

\(H(-1,1)=-4
H(-1,-1)=-4
H(0,0)= 20
H(- \frac{10}{9},0)= \frac{20}{9}\)
czyli w pkt (0,0) i w pkt \((- \frac{10}{9},0)\) występują ekstrema tylko jak wywnioskować gdzie min a gdzie max.

[Matematyk_64]

Liczysz wartości drugich pochodnych \(f^{''}_{xx}\) i \(f^{''}_{yy}\)
jak są dodatnie to minimum, jak ujemne to maksimum.

[kis_s]

\(f''xx(0,0)=18*0+10=10>0
f''yy(0,0)=2*0+2=2>0
f''xx((- \frac{10}{9},0))=18(- \frac{10}{9})+10= -10 <0
f''yy((- \frac{10}{9},0))=2(- \frac{10}{9})+2=(- \frac{2}{9})\)
czyli w pkt (0,0) funkcja ma min lokalne a w punkcie \((- \frac{10}{9},0)\) max lokalne tak ;d