Oblicz sumę pięćdziesięciu najmniejszych dodatnich rozwiązań równania:
\(2 \sin^4x=3 \sin^2x-1\)
Suma rozwiazań równania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
josselyn
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Suma rozwiazań równania
podstaw\(sin^2 x=t\) i rozwiaz jako rownanie kwadratowe
\(2t^2-3t+1=0\)
\(\Delta =1\)
\(t_1=1\)
\(t_2=0.5\)
\(sin^2 x=1 \vee sin^2 x=0.5\)
\(sinx=1 \vee sinx=-1 \vee sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee sinx= -\frac{ \sqrt{2} }{2}\)
teraz rozwiaz te proste rownania trygonometryczne
\(2t^2-3t+1=0\)
\(\Delta =1\)
\(t_1=1\)
\(t_2=0.5\)
\(sin^2 x=1 \vee sin^2 x=0.5\)
\(sinx=1 \vee sinx=-1 \vee sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee sinx= -\frac{ \sqrt{2} }{2}\)
teraz rozwiaz te proste rownania trygonometryczne
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(sin^x=t\;\;\;\;\;\;t\in<0;1>\\
2t^2-3t+1=0\\
\Delta=1\\
t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;sin^2x=\frac{1}{2}\;\;\;\;sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\;\;lub\;\;\;sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
t_2=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;sin^2x=1\;\;\;\;\;sinx=1\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;sinx=-1\)
Z tych równań otrzymasz rozwiązania:
\(x= \frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{5\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{7\pi}{4} +2k\pi\\
x= \frac{\pi}{2}+2k\pi\)
W przedziale \(<0;2\pi>\) dostaję rozwiązania,które po uporządkowaniu tworzą ciągi:
\(\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{6\pi}{4}; \frac{\7\pi}{4};...\)
Uogólniając można zapisać trzy ciągi arytmetyczne o różnicy pi.
Pierwszy:
\(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}...\)
Drugi:
\(\frac{2\pi}{4}; \frac{6\pi}{4}; \frac{10\pi}{4}; \frac{14\pi}{4};...\)
Trzeci:
\(\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}\)
Teraz trzeba podsumować po 16 wyrazów z każdego ciągu i doliczyć jeszcze 2 wyrazy jeden z ciągu pierwszego i jeden z drugiego.
Jest trochę liczenia...i dużo klikania...
Może ktoś to zrobi,bo trzeba trochę czasu.
Trzeba zastosować wzór na S ciągu arytmetycznego
\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\)
Dla ciągu pierwszego
\(S_{17}= \frac{ \frac{\pi}{4}\cdot 2+16\cdot \pi }{2}\cdot 17= 140,25\pi\)
Dla drugiego
\(s_{17}= \frac{ \frac{2\pi}{4}\cdot 2+16\cdot \pi }{2} \cdot 17=144,5\pi\)
Dla trzeciego
\(S_{16}= \frac{2\cdot \frac{3\pi}{4}+15\pi }{2}\cdot 16=126\pi\)
Ostatecznie po dodaniu tych trzech sum jest (o ile nie mam błędu rachunkowego
)
\(140,25\pi+144,5\pi+126\pi=414,75\pi\)
2t^2-3t+1=0\\
\Delta=1\\
t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;sin^2x=\frac{1}{2}\;\;\;\;sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\;\;lub\;\;\;sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
t_2=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;sin^2x=1\;\;\;\;\;sinx=1\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;sinx=-1\)
Z tych równań otrzymasz rozwiązania:
\(x= \frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{5\pi}{4}+2k\pi\\
x= \frac{7\pi}{4} +2k\pi\\
x= \frac{\pi}{2}+2k\pi\)
W przedziale \(<0;2\pi>\) dostaję rozwiązania,które po uporządkowaniu tworzą ciągi:
\(\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{6\pi}{4}; \frac{\7\pi}{4};...\)
Uogólniając można zapisać trzy ciągi arytmetyczne o różnicy pi.
Pierwszy:
\(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}...\)
Drugi:
\(\frac{2\pi}{4}; \frac{6\pi}{4}; \frac{10\pi}{4}; \frac{14\pi}{4};...\)
Trzeci:
\(\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}\)
Teraz trzeba podsumować po 16 wyrazów z każdego ciągu i doliczyć jeszcze 2 wyrazy jeden z ciągu pierwszego i jeden z drugiego.
Jest trochę liczenia...i dużo klikania...
Może ktoś to zrobi,bo trzeba trochę czasu.
Trzeba zastosować wzór na S ciągu arytmetycznego
\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\)
Dla ciągu pierwszego
\(S_{17}= \frac{ \frac{\pi}{4}\cdot 2+16\cdot \pi }{2}\cdot 17= 140,25\pi\)
Dla drugiego
\(s_{17}= \frac{ \frac{2\pi}{4}\cdot 2+16\cdot \pi }{2} \cdot 17=144,5\pi\)
Dla trzeciego
\(S_{16}= \frac{2\cdot \frac{3\pi}{4}+15\pi }{2}\cdot 16=126\pi\)
Ostatecznie po dodaniu tych trzech sum jest (o ile nie mam błędu rachunkowego
)\(140,25\pi+144,5\pi+126\pi=414,75\pi\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.