Wartość wyrażenia arytmetycznego :
\((1-\frac{1}{2^2}\)) x \((1-\frac{1}{3^2}\)) x \((1-\frac{1}{4^2}\)) x...x \((1-\frac{1}{2001^2})\)
zapisano w postaci ułamka nieskracalnego. Ile wynosi suma licznika i mianownika tego ułamka?
a)2001
b)3002
c)4002
d)5002
e)6001
Otóż jedyne co tutaj dostrzegłem to że po rozpisaniu kilku początkowych wyrazów mamy:
3/4 * 8/9 * 15/16 * 24/25 * 35/36 * 48/49 * 63/64 * 80/81
Różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami w liczniku wynosi odpowiednio 5, 7 , 9 , 11, 13, 15, 17 .... Czyli różnica różnicy jest stała. Taka sama sytuacja jest w mianowniku. Przypuszczam że to będzie klucz do rozwiązania tylko nie za bardzo wiem jak sobie z tym poradzić ; ) Proszę o pomoc
Ciąg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Odp.b
\((1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\cdot ....\cdot (1-\frac{1}{2000})(1+\frac{1}{2000})(1-\frac{1}{2001})(1+\frac{1}{2001})=\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{1999}{2000} \cdot \frac{2001}{2000} \cdot \frac{2000}{2001} \cdot \frac{2002}{2001}=\)
Skracasz ułamki i zostaje pierwszy z ostatnim
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{2002}{2001}= \frac{1001}{2001}\)
\(1001+2001=3002\)
\((1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\cdot ....\cdot (1-\frac{1}{2000})(1+\frac{1}{2000})(1-\frac{1}{2001})(1+\frac{1}{2001})=\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{1999}{2000} \cdot \frac{2001}{2000} \cdot \frac{2000}{2001} \cdot \frac{2002}{2001}=\)
Skracasz ułamki i zostaje pierwszy z ostatnim
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{2002}{2001}= \frac{1001}{2001}\)
\(1001+2001=3002\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Zauważ, że każdy z czynnik, da się przedstawić nieco inaczej: po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i zastosowania wzoru skróconego mnożeni dostaniemy kolejno
\(1-\frac{1}{2^2}=\frac{2^2-1}{2^2}=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}=\frac{1\cdot3}{2^2}\)
\(1-\frac{1}{3^2}=\frac{3^2-1}{3^2}=\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}=\frac{2\cdot4}{3^2}\)
\(1-\frac{1}{4^2}=\frac{4^2-1}{4^2}=\frac{(4-1)(4+1)}{4^2}=\frac{3\cdot5}{4^2}\)
\(1-\frac{1}{5^2}=\frac{5^2-1}{5^2}=\frac{(5-1)(5+1)}{5^2}=\frac{4\cdot6}{5^2}\)
\(\vdots\)
\(1-\frac{1}{2000^2}=\frac{2000^2-1}{2000^2}=\frac{(2000-1)(2000+1)}{2000^2}=\frac{1999\cdot2001}{2000^2}\)
\(1-\frac{1}{2001^2}=\frac{2001^2-1}{2001^2}=\frac{(2001-1)(2001+1)}{2001^2}=\frac{2000\cdot2002}{2001^2}\)
Zauważ, że tam w licznikach też pojawią się kwadraty kolejnych (nie wszystkich) liczb naturalnych z tego zakresu, one się pięknie poskracają z mianownikami, a to co zostanie... to będzie ten ułamek nieskracalny.
Po prostu rozstrzygnij co się na pewno skróci (moim zdaniem \(3^2,4^2,...,1999^2\), co się skróci częściowo, a co zostanie i już.
\(1-\frac{1}{2^2}=\frac{2^2-1}{2^2}=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}=\frac{1\cdot3}{2^2}\)
\(1-\frac{1}{3^2}=\frac{3^2-1}{3^2}=\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}=\frac{2\cdot4}{3^2}\)
\(1-\frac{1}{4^2}=\frac{4^2-1}{4^2}=\frac{(4-1)(4+1)}{4^2}=\frac{3\cdot5}{4^2}\)
\(1-\frac{1}{5^2}=\frac{5^2-1}{5^2}=\frac{(5-1)(5+1)}{5^2}=\frac{4\cdot6}{5^2}\)
\(\vdots\)
\(1-\frac{1}{2000^2}=\frac{2000^2-1}{2000^2}=\frac{(2000-1)(2000+1)}{2000^2}=\frac{1999\cdot2001}{2000^2}\)
\(1-\frac{1}{2001^2}=\frac{2001^2-1}{2001^2}=\frac{(2001-1)(2001+1)}{2001^2}=\frac{2000\cdot2002}{2001^2}\)
Zauważ, że tam w licznikach też pojawią się kwadraty kolejnych (nie wszystkich) liczb naturalnych z tego zakresu, one się pięknie poskracają z mianownikami, a to co zostanie... to będzie ten ułamek nieskracalny.
Po prostu rozstrzygnij co się na pewno skróci (moim zdaniem \(3^2,4^2,...,1999^2\), co się skróci częściowo, a co zostanie i już.