całka

[joanna1234]

\(\int cos^4xdx\)
\(\int sin^4xdx\)

[octahedron]

\(t=\mbox{tg}x
x=\mbox{arctg}t
\cos^2x=\frac{1}{1+\mbox{tg}^2x}
dx=\frac{dt}{1+t^2}
\int\cos^4x\,dx=\int \frac{1}{(1+\mbox{tg}^2x)^2}\,dx=\int\frac{1}{(1+t^2)^3}\,dt
t=\mbox{ctg}x
x=\mbox{arcctg}t
\sin^2x=\frac{1}{1+\mbox{ctg}^2x}
dx=-\frac{dt}{1+t^2}
\int\sin^4x\,dx=\int \frac{1}{(1+\mbox{ctg}^2x)^2}\,dx=-\int\frac{1}{(1+t^2)^3}\,dt\)

i mamy całki wymierne

[radagast]

A ja mam tak:
\(\int cos^4xdx=\int (sinx)'cos^3xdx=sinxcos^3x+3\int sin^2xcos^2xdx=
sinxcos^3x+3\int (1-cos^2x)cos^2xdx=
sinxcos^3x+3\int cos^2xdx- 3\int cos^4xdx \Rightarrow
4\int cos^4xdx= sinxcos^3x+3\int cos^2xdx\)
No i teraz mamy do policzenia
\(\int cos^2xdx= \int (sinx)' cosxdx=sinxcosx+\int sin^2xdx=sinxcosx+\int 1-cos^2xdx =
sinxcosx+x-\int cos^2xdx \Rightarrow 2\int cos^2xdx= sinxcosx+x\Rightarrow
3\int cos^2xdx= \frac{3}{2} \left( sinxcosx+x\right)\)
Ostatecznie więc:
\(\int cos^4xdx= \frac{1}{4} \left( sinxcos^3x+3\int cos^2xdx \right)=\frac{1}{4} \left( sinxcos^3x+\frac{3}{2} \left( sinxcosx+x\right)\right)=
\frac{1}{4} sinxcos^3x+\frac{3}{8} sinxcosx+\frac{3}{8} x\)

Starałam się nie pomylić w rachunkach ale ze mną to nigdy nie wiadomo...Lepiej sprawdź, jeśli coś nie jasne -pytaj