zbadać zbieżność punktową i jednośtajną poniższych ciągów

[suspicious20]

zbadać zbieżność punktową i jednośtajną poniższych ciągów funkcyjnych:
1.\(f_n : R \to R , f_n (x) = cos^{2n} x\)
2. \(f_n : R \to R , f_n (x) = \frac{x}{2 + x^{2n}}\)

Proszę o w miare dokladne wytłumaczenie lub krok po kroku, bo wczesniej nie robilem takich zadan, a w ksiazce nawet nie mam zadnego przykladu i nie wiem jak sie za to zabrac...

[jacekratajczak]

.

[jacekratajczak]

.

[suspicious20]

przeanalizowalem sobie to rozwiazanie i mi sie nawet podoba tylko w odpowiedzi mam : "Nie zbiezny jednostajnie"

[jacekratajczak]

.

[octahedron]

\(f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x={\{1,\ x=k\pi\\0,\ x\ne k\pi}\)

Jeśli \(f_n(x)\) są ciągłe i ciąg jest jednostajnie zbieżny, to \(f(x)\) też jest ciągła. Tu nie jest, więc mamy tylko zbieżność punktową.

[octahedron]

\(f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{2+x^{2n}}={\{0,\ x<-1\\-\frac{1}{3},\ x=-1\\\frac{x}{2},\ -1<x<1\\\frac{1}{3},\ x=1\\0,\ x>1}\)

\(f_n(x)\) są ciągłe, a \(f(x)\) jest nieciągła, czyli nie ma jednostajnej zbieżności.